Beweis mit Binomialkoeffizienten

Question

Ich muss für alle reellen Zahlen x,y und für alle n e N beweisen,

dass dies gilt:

$$\begin{pmatrix} x+y\\n \end{pmatrix} =\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} x\\n-k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y\\k \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:

ich verstehe, dass ich Induktion verwenden sollte. Es ist als Tipp gegeben dass, ich mich am binomischen Lehrsatz orientieren soll.

Binomischen Lehrsatz:

$$(a+b)^{n} = \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}a^{n-k}b^{k}$$

Answer 1

Am einfachsten geht es aber kombinatorisch:
Linke Seite: Anzahl der Möglichkeiten n Elemente aus x+y Elementen auszuwählen.

Rechts: Um n Elemente aus x+y auszuwählen, kann man auch k Elemente aus y auswählen, bleiben noch n-k aus x auszuwählen. Kombination ergibt das Produkt. Alle k's durchspielen ergibt die Summe.

Okay, das geht nur für den Fall x,y natürliche Zahlen. Meinst Du wirklich x,y reell?

Comments

Läuft für natürliche x,y auf dasselbe hinaus :
Man wende auf (a+b)^x+y = (a+b)^x·(a+b)^y dreimal den binomischen Satz an, multipliziere rechts aus und mache einen Koeffizientenvergleich.