Stammfunktion \frac{1}{5+cos(x)} ohne sec(x), cosec(x) und csc(x)

Question

wie ermittelt man die Stammfunktion von $\frac{1}{5+cos(x)}$  ohne sec(x), cosec(x) und csc(x)?

Meine Strategie war die 5 im Nenner herauszuheben und $\frac{cos(x)}{5}$ zu $u^{2}$ substituieren, um auf $\int\limits_{}^{}$ $\frac{1}{1+u^{2}}$  zu kommen, doch das scheint nicht richtig zu sein.

Wie würde man hier die Stammfunktion finden unter den genannten Bedingungen?

Comments

Für rationale Funktionen on sin und cos gibt es eine "trigonometrische Universalsubstitution"

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Für rationale Funktionen on sin und cos gibt es eine "trigonometrische Universalsubstitution"

Wann und wo lernt man das? Wann braucht man das sonst noch?

Answer 1

Aloha :)

Dazu betrachte zunächst:$$\cos(2\varphi)=\frac{\overbrace{\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}^{=\cos(2\varphi)}}{\underbrace{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}_{=1}}=\frac{1-\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}}{1+\frac{\sin^2\varphi}{\cos^2\varphi}}=\frac{1-\tan^2\varphi}{1+\tan^2\varphi}$$

Wende das mit $\varphi=\frac x2$ auf den Integranden an:$$I=\int\frac{1}{5+\cos x}\,dx=\int\frac{1}{5+\frac{1-\tan^2\frac x2}{1+\tan^2\frac x2}}\,dx=\int\frac{1+\tan^2\frac x2}{\left(5+5\tan^2\frac x2\right)+\left(1-\tan^2\frac x2\right)}\,dx$$$$\phantom I=\int\frac{1+\tan^2\frac x2}{6+4\tan^2\frac x2}\,dx=\frac14\int\frac{1+\tan^2\frac x2}{\frac32+\tan^2\frac x2}\,dx$$

Wir substituieren nun:$$t\coloneqq\tan\frac x2\quad\text{mit}\quad\frac{dt}{dx}=\frac12\left(1+\tan^2\frac x2\right)\quad\text{bzw.}\quad\left(1+\tan^2\frac x2\right)\,dx=2\,dt$$

Nebenrechnung für die Ableitung der Tangens-Funktion:$$\small\left(\tan x\right)'=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\cdot\overbrace{\left(-\sin x\right)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2 x}_{=v^2}}=1+\tan^2x$$Mit der Kettenregel ist dann klar:$$\left(\tan\frac x2\right)'=\frac12\left(1+\tan^2\frac x2\right)$$

Damit erhalten wir das Standardintegral: $\int\frac{a}{a^2+x^2}=\arctan\frac xa+C$:$$I=\frac14\int\frac{2\,dt}{\frac32+t^2}=\frac12\int\frac{1}{\frac32+t^2}\,dt=\frac12\cdot\sqrt{\frac23}\cdot\int\frac{\sqrt{\frac32}\,dt}{\frac32+t^2}=\frac{1}{\sqrt6}\arctan\left(\frac{t}{\sqrt{\frac32}}\right)+C$$

Jetzt muss du nur noch das $x$ zurück substituieren und erhältst:$$\int\frac{1}{5+\cos x}\,dx=\frac{1}{\sqrt6}\arctan\left(\sqrt{\frac23}\,\tan\frac x2\right)+C$$

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Vielen Dank für die sehr detailreiche Antwort!