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∫ 1/(1-cos(x)) dx

Hallo an Alle,

ich brauche einmal eure Hilfe:
Wie kann ich folgendes Integral bilden?

1/ (1-cos(x)) ?

Ich würde die Substitution anwenden und versuchen, cos (x) zu substitutieren, aber ich komme wiederholt auf kein Ergebnis.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.  
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  leider kann ich dir bezüglich des Integrierens auch nicht helfen.
Das Ergebnis soll sein - cot ( x / 2 ).

  mfg Georg
Vielleicht hilft ja eine trigonometrische Umformung.

1/(1-cos(x))
= (1+cos x)/ ((1-cosx )(1+cos x))
= (1+cos x) / (sin^2 x)

= 1/sin^2 x + cos(x)/sin^2 x

Wenigstens im 2. Summanden hätte man die innere Ableitung über dem Bruchstrich.

2 Antworten

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Hallo

Folgender Weg ist auch möglich. Bei solchen Integralen verwendet man die typische Substitution.

(t= tan(x/2) )

Diese braucht nicht jedesmal hergeleitet werden, denn Sie gelten immer bei  den Sin , Cos , Tan Cot -Funktonen .

Deshalb entnimmt man das sofort aus einem Tafelwerk. Dabei kürzt sich das Ganze sehr elegant weg

und es bleibt noch ein sehr einfaches Grundintegral übrig.

Lösung Integral

Avatar von 121 k 🚀
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Folgende Substitution vereinfacht den Nenner auch:

x = 2u; u=x/2

dx/du = 2 ---> dx = 2du

cos(2u) = cos2 u - sin2 u = 1-2sin2 ( u)

1/(1-cos(2u)) = 1/(2sin2 (u))

Hier müsste man die Stammfunktion von 1/sin2 (x) kennen.

Falls nun  ∫ 1/sin2 (x) dx = - cot(x) + C  bekannt ist,

Folgt

∫ 1(1-cos x) dx = ∫ 1/(2sin2 (u)) 2du =

 ∫ 1/(sin2 (u)) du =-  cot u + C = - cot (x/2) + C

Avatar von 162 k 🚀

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