symmetrische und alternierende Gruppe

Question

Aufgabe:

Sei n∈ℕ mit n≥2. Sei ∑_n die symmetrische Gruppe zum Index n und sei A_n die alternierende Gruppe zum Index n.

Beweisen Sie dass für alle σ∈∑_n die Gleichung σA_n=A_nσ gilt und die Gruppe ∑_n/A_n zyklisch der Ordnung 2 ist.

Comments

\( A_n \) ist (oftmals) definiert als der Kern von

$$ \operatorname{sgn}:\Sigma_n \to \{\pm 1\}$$

Kerne sind Normalteiler. Weiter gilt der Homomorphiesatz.

Answer 1

Warum solches Geschütz? A_n besteht aus allen geraden Permutationen und σπσ^-1 ist stets eine gerade Permutation. Eine Untergruppe vom Index 2 ist normal, also hat die Faktorguppe die Ordnung 2.