Kern des Raums der Polygone vom Grad <= 4 bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei P4 der Raum der Polynome (in t) mit reellen Koeffizienten vom Grad ≤ 4. Man bestimme den
Kern der linearen Abbildung
F : P4 → P4; p → t²p′′ − 4tp′ + 6p.
Mit p′ ist die Ableitung nach t gemeint.

Problem/Ansatz:

Also ich habe zuerst die erste und 2te Ableitung des Standardpolynoms p(t) = a₀+a₁*t+a₂*t²+a₃*t³+a₄t⁴ berechnet.
Danach habe ich die Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt und einen ewig Langen Term bekommen den ich dann mit 0 gleichgesetzt habe (also F(p) = 0):

t²⋅(2a₂+6a₃t+12a₄t²)−4t⋅(a₁+2a₂t+3a₃t²+4a₄t³)+6(a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+a₄t⁴) = 0
was vereinfach folgendes ist:

2a₄t⁴ + 2a₁t + 6a₀ = 0

Ist meine bisherige vorgehensweise korrekt und wie muss ich weiter vorgehen?

Answer 1

Ja, genau richtig soweit. Diese letzte Gleichung muss für alle t gelten (weil alles andere ja auch für alle t gilt), wir reden ja über Polynome. D.h., das Polynom \(q(t)=2a_4 t^4+2a_1t+6a_0\) muss das Nullpolynom sein. Also müssen seine Koeffizienten alle 0 sein. Daraus kannst Du dann sehen, dass \(\dim kern \, F=2\) sein muss. Kannst Du den Kern nun angeben?

Comments

Heißt das der Kern ist einfach der Nullvektor?

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Nein. Dann wäre ja auch \(\dim kern\) nicht 2.

Wenn Du Dich mit Polynomen schwer tust: Das geht wie mit Vektoren aus \(\R^5\). Ein solcher Vektor ist in \(kern \, F\), wenn drei seiner Komponenten (siehe Gleichung) =0 sind.

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aber was ist dann der Kern?

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Einfacheres Beispiel als Vorübung: was ist der Kern von f(x,y,z)=z in \(\R^3\)? Gib eine Basis an. Wenn man die Dimension hat, braucht man nur entsprechend viele linear unabhängige Elemente zu finden.