Zeige, dass Br(a) eine abgeschlossene Teilmenge des metrischen Raums X ist

Question

Aufgabe 11:

Sei $X$ ein metrischer Raum, $a \in X, r>0$. Zeigen Sie, dass $\bar{B}_{r}(a)$ eine abgeschlossene Teilmenge von $X$ ist.

Comments

Abgeschlossenheit zeigt man eigentlich immer, indem man zeigt dass das Komplement offen ist.

Das funktioniert hier denke ich auch sehr gut.

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Präzision? Br(a) ist ein Kreis?

Br(a) ist ein Kreis in einem metrischen Raum?

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$\overline{B}_r(a)$ ist der Abschluss der offenen Menge mit dem Radius $r$ um den Punkt $a \in X$. Der Abschluss besteht aus der Menge und allen Häufungspunkten der Menge.

Answer 1

Die abgeschlossene Kugel ist definiert durch $\bar{B}_r(a)=\{x\in X:\; d(x,a)\leq r\}$.

Nun soll gezeigt werden, dass diese Kugel auch eine abgeschlossene Menge

im Sinne der Metrik ist.

Hierzu betrachten wir die Abbildung $f:X\rightarrow [0\infty), \; x\mapsto d(x,a)$.

Mithilfe der Dreiecksungleichung für die Metrik kann man leicht zeigen,

dass $f$ stetig ist. Eine Abbildung ist genau dann stetig, wenn das

Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist.

In diesem Falle haben wir $\bar{B}_r(a)=f^{-1}([0,r])$, q.e.d.