Bestimmen Sie α∈ℝ, sodass

Question

Aufgabe:

Sei V ein ℝ-Vektorraum der Dimension 3 und sei B_v=(v₁,…,v_n) eine Basis von V. Der K-Endomorphismus wird definiert als f:V->V, f(v₁)=2v₁+2v₂+3v_3, f(v₂)=v₂-2v₃, f(v₃)=2v₂-v₃. Sei D∈Λⁿ(V)-{0} eine nicht-null Determinantenfunktion auf V, sodass D eine Basis des 1-dimensionalen ℝ-Vektorraums Λⁿ (V) definiert. Sei D_f∈Λⁿ(V) die Determinantenfunktion definiert durch D_f(w₁,…,w_n):=D(f(w₁),…,f(w_n)) für alle (w₁,…,w_n)∈Vⁿ.

Bestimmen Sie α∈ℝ, sodass D_f=α·D.

Wie kann man das machen?

Answer 1

Für die Determinante einer Funktion reicht es die Determinante der Abbildungsmatrix der jeweiligen Funktion zu bestimmen, das heißt du nimmst f(v1) als ersten Spaltenvektor, f(v2) als zweiten Spaltenvektor und f(v3) als dritten Spaltenvektor und rechnest die Determinante dieser 3x3 Matrix dann aus. Der Wert deiner Determinante ist dann dein alpha