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Es soll eine oben offene zylinderförmige Tonne hergestellt werden, die eine Flüssigkeitsmenge von 400 Litern ( \( 400 \mathrm{dm}{ }^{3} \) ) fasst. Die Kosten (pro dm²) für das Bodenmaterial sind \( 5 \mathrm{mal} \) so hoch wie die für das Ummantelungsmaterial. Berechnen Sie, welche Höhe und Durchmesser die Tonne haben muss, damit die Materialkosten minimal sind!

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Ist es so bisher richtig?

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Stimmt die Formel mit der Oberfläche? Also dass da eine 5 steht

Das ist nicht die Formel für die Oberfläche, sondern die Formel für die Kosten der Oberfläche.

Und ja, da ist der Faktor 5 im ersten Summanden sinnvoll.

2 Antworten

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V= r^2*pi*h = 400 (Nebenbedingung)

h= 400/(r^2*pi)

O= 5*r^2*pi+2r*pi*h (Hauptbedingung)

O(h) = 5*r^2*pi+ 800/r

O'(h) = 10r*pi- 800/r^2 = 0 |*r^2

10r^3*pi-800 = 0

r^3 = 80/pi

r= (80/pi)^(1/3) = 2,94 dm

h= 400/(2,94^2*pi) = 14,73 dm

Avatar von 39 k

\( \sqrt[3]{\frac{80}{\pi}}=2,942 \text{ }dm \)

Danke, ich hatte mal statt geteilt getippt bei 80/pi.

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Wenn wir davon ausgehen, dass eine Flächeneinheit des Mantels eine Geldeinheit kosten und eine Flächeneinheit des Bodens 5 Geldeinheiten kostet, ist dein Term 5πr²+2πrh brauchbar, wenn es um die Beschreibung der Kosten K in Abhängigkeit von r und h geht:

\(K(r,h)=5\pi r^2 + 2 \pi r h\)


Deine Nebenbedingung \(400=\pi r^2 h\) erlaubt dir nun, entweder h durch r auszudrücken (\(h=\frac{400}{\pi r^2}\)) oder r durch h auszudrücken (\( r=\sqrt{\frac{400}{\pi h} }\)). Entscheide selbst, welche der beiden Varianten du lieber in den Term

\(5\pi r^2 + 2 \pi r h\) einsetzen möchtest.

(Denke daran, dass du den erhaltenen Funktionsterm nach der noch verbliebenen Variable ableiten musst.)

Avatar von 54 k 🚀

erlaubt dir nun, entweder h durch r auszudrücken (

r nehmen wäre ungeschickt, weil eine Wurzel entsteht, oder?

Dieser Einwand ist nicht von der Hand zu weisen...

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