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Aufgabe:

Die Aufgabenstellung steht im Titel, es steht noch da, dass die Fläche A gegeben ist. Es handelt sich um einen trapezförmigen Querschnitt.

canvas2.png

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre der, dass ich eine Funktion f finde, die a, h und α als Parameter besitzt, also f(a,h,α): ℝ³→ℝ.

f soll auf den benetzten Umfang abbilden, also f(a,h,α) = 2b + a:

canvas2.png

Jetzt würde ich die Form für b aufstellen:

sinα = \( \frac{h}{b} \), b = \( \frac{h}{sinα} \).

Daraus würde dann folgen f(a,h,α) = a + \( \frac{2h}{sinα} \).

Da fehlt mir aber irgendwie noch das gegebene A bzw. der Bezug zum Flächeninhalt im Allgemeinen und wenn ich die partiellen Ableitungen von f bilde und da nach Extremstellen gucke, sieht's auch eher mau aus..

Mein Ansatz war dann, mit den gegebenen Variablen a,h,α die Formel für den Flächinhalt zu bilden:

A = \( \frac{1}{2} \) (a+c) * h. Daraus würde dann werden mit c = \( \frac{2h * sin(90-α)}{sinα} \) + a:

A = \( \frac{1}{2} \) (a+c) * h = \( \frac{1}{2} \) (a+( \( \frac{2h * sin(90-α)}{sinα} \) + a)) * h

= ah + \( \frac{h^{2}sin(90-α)}{sinα} \).

Und dann das in der Funktion zu verwenden, wie f(a,h,α) = \( \frac{a + \frac{2h}{sinα}}{A} \), damit dann auch das A da mit einbezogen wird und man den Wert der benetzten Oberfläche abhängig vom gegebenen A macht....

Würde mich über jegliche Denkanstöße freuen!!

von
Wie müssen Basisbreite a, Höhe h, Böschungswinkel α gewählt werden, damit der benetzte Umfang minimal wird?

.. ganz klar: \(a=h\) und \(\alpha = 90°\) - was sonst!

Darfst/kannst Du den Lagrange-Multiplikator verwenden? dann wird's einfach. Dann braucht es auch keinen \(\sin\).

Statt eine eigene Lösung anzubieten,wäre eine vollständige Abschrift der Aufgabe nützlicher gewesen. Was ist hier ein benetzter Umfang?

Was ist hier ein benetzter Umfang?

Gute Frage! Ich nahm an, es ist der Umfang des Trapez. Ist aber anscheinend nicht.

@Werner-Salomon
Es wird das Wort " Böschung " verwendet.
Dies läßt darauf schließen das die obere
Teilstrecke nicht benetzt wird.
Darauf läßt auch auf die verwendete
Formel U = a + 2b schließen.

A ( a,h,α ) auf jeden Fall aber 3 Parameter
U ( a,b )
Ich meine ein bis viel Unbekannte um zu
einer Lösung zu kommen.

@Fragesteller : stell´ mal den Fragetext als
Foto ein.

Ma3Blatt08Aufgabe03.png

Genau, wie @goergborn meint, es wird der Umfang ohne die obere Teilstrecke gemeint.

Was ein benetzter Umfang ist,ist jetzt klar. Die Nebenbedingung  ist dann A=(a+h/tan(α))·h mit A konstant.

Leider habe ich trotz intensivster Beschäftung
mit der Frage keine eindeutige Lösung gefunden.

Falls jemand eine eindeutige Lösung hat

dann bitte mitteilen.

1 Antwort

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So. Hat vielleicht doch noch etwas gegeben.

Ich gehe von folgenden Bezeichnern aus.

gm-24-a.jpg

Ausgegangen bin ich von einem quadratischen Querschnit mit a = h.
Dies ist für eine Rechteckfläche die kleinste Fläche.
Ich nehme einmal dasselbe für den Umfang und ( Umfang ohne oberes
Teilstück ) auch an.
Die Fläche A soll bekannt sein. Im späteren Verlauf wird diese
konkret mit 100 angesetzt. Dann ist a = √ 100 = 10.

Das Quadrat wird nun in der Höhe nach unten gedrückt und wandelt sich
in ein Trapez.

Hier die Anfangsberechnungen

gm-25-b.JPG

Geht gleich weiter.

von 91 k

rot : Eingabe ; blau : Ausgabe Programm
Zeile 1 ) : Flächeninhalt Trapez
2.) Länge Grundseite
3.) Fläche durch Ersetzung " a " = durch " √ A "
4.) t1 nach d umgestellt
5.) Formel für b als Hypotenuse
6.) A zu 100 gesetzt
7.) b als Funktion von h

Geht noch weiter

Hier der Graph " b als Funktion von h "


gm-24-c.JPG

Der Tiefpunkt liegt bei ca ( 7 | 9 )
Mit dem Newton-Verfahren
h = 7.071
b = 8.19

Benetzte Längen Ausgangsquerschnitt 10 + 10 + 10 = 30
Für den berechneten Querschnitt = 10 + 2 * 8.19 = 26.28

Bezogen auf a ist als Höhe zu wählen : 8.19 / 10 =0.819
h = 0.819 * a
Winkel ( innerhalb des Dreiecks b-d-h ) :
cos beta = h / b = 7.071 / 8.19 = 0.8634  => 30.3 °
alpha in der Zeichnung Fragesteller = 90 - 30.3 = 59.7 °

Für die Praxis
A ist gegeben
a ist √ A
h = 0.819 * a
Den Neigungswinkel wie oben beschrieben berechnen.

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