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Aufgabe \( 3(6+4 \) Punkte \( ) \). Sei \( U \subseteq \mathbb{R}^{n} \) offen und seien \( f, g: U \rightarrow \mathbb{R} \) zwei in \( x \in U \) total differenzierbare Funktionen.
(a) Zeigen Sie nur mit der Definition der totalen Differenzierbarkeit erneut, dass \( f \cdot g \) in \( x \) total differenzierbar ist.
(b) Sei \( g(x) \neq 0 \). Zeigen Sie, dass dann \( \frac{f}{g} \) in \( x \) total differenzierbar ist und bestimmen Sie \( D \frac{f}{g}(x) \).

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Schreib doch mal Eure Definition für "f ist im Punkt x total differenzierbar" auf, damit wir einen Ausgangspunkt haben.

Habt ihr die totale Differenzierbarkeit über die Existenz einer Matrix definiert?

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Definition 7.8. Sei \( U \subseteq \mathbb{R}^{n} \) offen. Eine Abbildung \( f: U \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) heißt (total) differenzierbar in \( x \in U \), falls es eine lineare Abbildung \( L: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) und ein \( \varepsilon>0 \) gibt, so dass
\( f(x+\xi)=f(x)+L(\xi)+\varphi(\xi) \)
für alle \( \xi \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \|\xi\|<\varepsilon \), wobei \( \varphi: \mathrm{B}(0, \varepsilon) \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) eine Funktion ist mit
\( \lim \limits_{\substack{\xi \rightarrow 0 \\ \xi \neq 0}} \frac{\varphi(\xi)}{\|\xi\|}=0 . \)

Wir bezeichnen \( L \) mit \( D f(x) \) und nennen es die (totale) Ableitung von \( f \) im Punkt \( x \).

Mit dieser Definition. Ich habe folgenden Ansatz:

f(x+ξ)=f(x)+Df(x)(ξ)+ϕ_f(ξ)
g(x+ξ)=g(x)+Dg(x)(ξ)+ϕ_g(ξ)

Für das Produkt h(x+ξ)=f(x+ξ)⋅g(x+ξ). gilt dann

h(x+ξ)=(f(x)+Df(x)(ξ)+ϕ_f(ξ)*(g(x)+Dg(x)(ξ)+ϕ_g(ξ)
Muss ich das hier mit einem grenzwert zeigen?

und wie gehe ich bei der b) vor

LG

Du multiplizierst alles aus und ordnest die Summanden:

- Ein Summand ist h(x)

- Alles, was linear in \(\xi\) ist, bildet die Ableitung Dh(x)

- Der Rest ist \(\phi_h(\xi)\). Dafür musst Du dann die Grenzwerteigenschaft aus der Definition zeigen.

Für b) kann man 1/g als Komposition von g mit der reellen Funktion \(s \mapsto 1/s\) darstellen und mit der Kettenregel die Ableitung bestimmen. Dann kann man a) anwenden.

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