Wenn für alle Eigenwerte λ von A gilt |λ| < 1, dann gibt es eine Norm ∥ · ∥ auf ℝn.

Question

Sei A ∈ ℝ^n×n eine symmetrische Matrix. Zeigen Sie:

a) Wenn für alle Eigenwerte λ von A gilt |λ| < 1, dann gibt es eine Norm ∥ · ∥ auf ℝⁿ, so dass für die zugehörige Matrixnorm gilt ∥A∥ < 1.
b) Wenn es eine Norm ∥ · ∥ auf ℝⁿ gibt, so dass für die zugehörige Matrixnorm gilt ∥A∥ < 1, dann gilt |λ| < 1 für alle Eigenwerte λ von A.

Comments

b) ist (scheint mir) einfacher. Wende die Information über die Norm von A einfach auf die Eigenwertgleichung für einen Eigenwert \(\lambda\) an

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Übrigens ist a) schon in Deiner früheren Frage

https://www.mathelounge.de/1074693/der-kleinste-wert-den-ax-annimmt-wenn-durch-alle-mit-lauft

de facto beantwortet.

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Jetzt fühle ich mich dumm, ich habe nämlich bei beidem keine Ahnung, wie ich weitermachen kann. Könntest du mir bitte noch weiterhelfen?

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Dann schreib doch mal auf, welche Gleichung ein Eigenwert mit einem Eogenvektor erfüllt.