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Sei A ∈ ℝn×n eine symmetrische Matrix. Zeigen Sie:

a) Wenn für alle Eigenwerte λ von A gilt |λ| < 1, dann gibt es eine Norm ∥ · ∥ auf ℝn, so dass für die zugehörige Matrixnorm gilt ∥A∥ < 1.
b) Wenn es eine Norm ∥ · ∥ auf ℝn gibt, so dass für die zugehörige Matrixnorm gilt ∥A∥ < 1, dann gilt |λ| < 1 für alle Eigenwerte λ von A.

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b) ist (scheint mir) einfacher. Wende die Information über die Norm von A einfach auf die Eigenwertgleichung für einen Eigenwert \(\lambda\) an

Übrigens ist a) schon in Deiner früheren Frage

https://www.mathelounge.de/1074693/der-kleinste-wert-den-ax-annimmt-wenn-durch-alle-mit-lauft

de facto beantwortet.

Jetzt fühle ich mich dumm, ich habe nämlich bei beidem keine Ahnung, wie ich weitermachen kann. Könntest du mir bitte noch weiterhelfen?

Dann schreib doch mal auf, welche Gleichung ein Eigenwert mit einem Eogenvektor erfüllt.

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