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Aufgabe:

Gegeben seien endlich-dimensionale Vektorräume \( U_{1}, U_{2}, V_{1}, V_{2} \) über einem Körper \( K \). Wir schreiben \( \operatorname{dim} U_{1}=n_{1}, \operatorname{dim} U_{2}=n_{2}, \operatorname{dim} V_{1}=m_{1}, \operatorname{dim} V_{2}=m_{2} \). Es seien \( f_{1}: U_{1} \rightarrow V_{1}, f_{2}: U_{2} \rightarrow V_{2} \) lineare Abbildungen.
1. Zeigen Sie, dass die Abbildung
\( \begin{aligned} f_{1} \oplus f_{2}: U_{1} \oplus U_{2} & \rightarrow V_{1} \oplus V_{2} \\ \left(u_{1}, u_{2}\right) & \mapsto\left(f_{1}\left(u_{1}\right), f_{2}\left(u_{2}\right)\right) \end{aligned} \)
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eine lineare Abbildung ist.
2. Es sei \( \mathcal{B}_{i} \) eine Basis für \( U_{i} \) und \( \mathcal{B}_{i}^{\prime} \) eine Basis für \( V_{i}, i=1,2 \). Wenn \( f_{1} \) durch die \( m_{1} \times n_{1} \)-Matrix \( A_{1} \) bezüglich \( \mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{1}^{\prime} \) dargestellt wird und \( f_{2} \) durch die \( m_{2} \times n_{2} \)-Matrix \( A_{2} \) bezüglich \( \mathcal{B}_{2} \) und \( \mathcal{B}_{2}^{\prime} \), zeigen Sie, dass \( f_{1} \oplus f_{2} \) bezüglich \( \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}, \mathcal{B}_{1}^{\prime} \cup \mathcal{B}_{2}^{\prime} \) durch die \( \left(m_{1}+m_{2}\right) \times\left(n_{1}+n_{2}\right) \)-Matrix
\( \left(\begin{array}{cc} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{array}\right) \)
dargestellt wird.
3. Es sei \( g: U_{1} \oplus U_{2} \rightarrow V_{1} \oplus V_{2} \) eine lineare Abbildung mit \( g\left(U_{1}\right) \subseteq V_{1} \). Welche Form hat die Matrix von \( g \) bezüglich der oben gewählten Basen?

Bemerkung. Wir betrachten hier \( U_{1} \) als Untervektorraum von \( U_{1} \oplus U_{2} \) mithilfe des Isomorphismus \( U_{1} \cong\left\{\left(u_{1}, 0\right) \in U_{1} \oplus U_{2} \mid u_{1} \in U_{1}\right\} \), analog für \( U_{2}, V_{1}, V_{2} \).

Problem/Ansatz:

Hallo kann mir jemand hier helfen? Kann ich bei der eins eine matrix suchen oder muss ich homogen. und addid. beweisen? Und die restlichen Aufgaben verstehe ich nicht. Danke im voraus!

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1 Antwort

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Beste Antwort

Du kannst bei a) eine zu \(f\) passende Matrix suchen. Dann musst Du keine Eigenschaften nachweisen. Tipp: Lösung steht in b)

Wenn Du a) und b) verstanden hast, wird auch c) klar. Man sollte die Aufgabenteile nacheinander angehen, dann klärt sich vieles von selbst.

Avatar von 7,5 k

Ich weiß jetzt nicht wie das mit der Matrix funktionieren würde, aber ich konnte die Eigenschaften mit Hilfe nachweisen, kann mir wer noch Tipps für 2. und 3. geben?

Am Ende der Antwort steht der Tipp für 3.: Mach erst 2.

Und zu 2.: Die Matrix zu einer Abbildung bestimmt man wie üblich, indem man die Bilder des Basis-(\(B_1\cup B_2\))-vektoren in der Basis (\(B_1'\cup B_2'\)) zerlegt und die Koeffizienten in die Spalten schreibt.

Sei also \(b\in B_1\), dann \((f_1\oplus f_2)(b)=...\).

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