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Aufgabe:  . Gibt es eine lineare Abbildung ϕ : ℝ3 -> ℝ4 die die folgenden Vektoren aufeinander abbildet.


\( \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist es, die R³ Vektoren in eine Matrix A zu schreiben und die R^4 in Matrix B und eine Matrix finden C finden für die gilt A * C =  B. Dies ist leider erfolglos.

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Beste Antwort

Hallo,

eine lineare Abbldung, die \(\mathbb R^3\) auf \(\mathbb R^4\) abbildet, hat die Form$$M_{4\times 3} \cdot v = u, \quad v \in \mathbb R^3, \space u \in \mathbb R^4$$WIr suchen also eine 4x3-Matrix, bzw. sollen belegen, dass es sie gibt.

Mein Ansatz ist es, die R³ Vektoren in eine Matrix A zu schreiben und die R4 in Matrix B ...

Guter Ansatz: $$A = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 2& 1& 2\end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix}1& -1& 0\\ 1& 1& 2\\ 1& 1& 2\\ 2& 1& 3\end{pmatrix}$$

... und eine Matrix finden C finden für die gilt A * C =  B.

nicht ganz. So passt es mit der Anzahl der Zeilen und Spalten nicht. \(C\) muss eine 4x3-Matrix sein. Folglich lautet die Abbildung:$$C \cdot A = B$$und um die Gleichung nach \(C\) aufzulösen, reicht es, sie von rechts mit \(A^{-1}\) zu multiplizieren.

Und dies ist auch das Kriterium für die Existenz von \(C\): \(A\) muss invertierbar sein; z.B. muss \(\det(A) \ne 0\) sein bzw. die drei Vektoren müssen linear unabhängig sein - was dasselbe ist. Hier ist \(\det(A)=2\) und $$A^{-1} = \frac 12 \begin{pmatrix}0& -1& 1\\ 4& 0& -2\\ -2& 1& 1\end{pmatrix} \\ C = \frac 12 \begin{pmatrix}-4& -1& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ -2& 1& 3\end{pmatrix}$$

von 45 k

Super danke! Habs jetzt verstanden!

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Die drei Vektoren aus ℝ3 sind linear unabhängig. Also gibt es eine solche lineare Abbildung.

Sei (v1, ..., vn) eine Basis des K-Vektorraums V und W ein K-Vektorraum und {w1, ..., wn} ⊆ W.

Dann ist

        φ: V → W mit ∑i=1..n αivi ↦ ∑i=1..n αiwi ∀α1, ..., αn ∈ K

eine lineare Abbildung von V nach W.

von 94 k 🚀

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