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Aufgabe:

Berechne den Grenzwert der Reihe von

a)

\(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{5 k}{3^{k}} \)

b)

\(\displaystyle \sum \limits_{i=0}^{\infty} \frac{i^{2}}{2^{i}} \)


Problem/Ansatz:

Ich wäre bei a) wie folgt vorgegangen: 5k* Summe 1/3^k => 5k* 1,5, Endergebnis wäre jedoch 15/4. Auch bei b unsicher, wie man das lösen kann. Handelt es sich um eine geometrische Reihe? Und wie löse ich das dann?

Vielen Dank im Voraus!

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Zu a): Du kannst die 5k natürlich nicht aus der Summe ziehen, weil der Faktor noch vom Laufindex anhängt. Bei derartigen Reihen gibt es aber einen Trick:

Für die geometrische Reihe gilt \(\sum_{k=0}^{\infty}x^k = \frac{1}{1-x}\). Dann gilt (aufgrund der Konvergenz geht das) für die Ableitung der geometrischen Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty}kx^{k-1}=(\sum_{k=0}^{\infty}x^k)' = (\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}\).

Nun ist \(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{5k}{3^k}=5\sum_{k=0}^{\infty}k\left(\frac{1}{3}\right)^k=\frac{5}{3}\sum_{k=0}^{\infty}k\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}=\ldots\)

Zu b): Das kann man ähnlich wie a) machen, allerdings mit der zweiten Ableitung der geometrischen Reihe, da wir den Faktor \(i^2\) haben. Du musst die Reihe also so umformen, dass du am Ende auf einen Ausdruck der Form \(\sum_{i=0}^{\infty}i(i-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{i-2}\) kommst (das ist die zweite Ableitung).

Kontrollergebnis ist 6.

Avatar von 15 k

Danke, die Regel kannte ich nicht. Wieso verändert sich die 5 zu 5/3?

Du musst einen Faktor zusätzlich aus die Summe ziehen, weil du in der Summe den Exponenten \( k-1 \) brauchst wegen der Ableitung.

Bei derartigen Reihen gibt es aber einen Trick:

Und wenn man den Trick nicht kennt? Woher soll oder muss man ihn kennen?

Gibt es einen anderen Weg?

Das ist gar kein Trick, sondern eine Methode.

Eine andere Methode wäre die Anwendung der Cauchy-Faltung oder etwa für die erste Summe das zeilenweise Aufschreiben und spaltenweise Summieren :

∑ k*q^k = q + q^2 + q^2 + q^3 + q^3 + q^3 + q^4 + q^4 + q^4 + q^4 + q^5 + ...
= (q + q^2 + q^3 + q^4 + ...) + (q^2 + q^3 + q^4 + ...) + (q^3 + q^4 + ...) + (q^5 + ...) + ...
= q * 1/(1-q)  +  q^2 * 1/(1-q)  +  q^3 * 1/(1-q)  +  q^4 * 1/(1-q)  +  ...
= (q+q^2+q^3+q^4+...)*1/(1-q) = q/(1-q)^2

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