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Aufgabe G25
Wie oft muss eine faire Münze mindestens geworfen werden, damit die relative Häufigkeit des Auftretens von „Zahl “ mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 0.99 zwischen 0.49 und 0.51 liegt? Benutzen Sie eine Approximation.
Vorlesungsabschnitte: bis II.5.4
Lösungshinweise: Wir definieren
Xk : ={1,0, beim k-te Wurf wird Zahl geworfen, beim k-te Wurf wird Kopf geworfen, k∈N.
Bei insgesamt n∈N Würfen ist die relative Häufigkeit des Auftretens von nZahl " gerade gegeben durch Xn : =n1k=1∑nXk. Es ist μ : =E[X1]=0.5 und σ2 : =V[X1]=0.52 (vgl. Abschnitt II.3.2). Entsprechend ist
n0.5Xn−0.5
für hinreichend großes n approximativ standardnormalverteilt. Wir erhalten
P(0.49≤Xn≤0.51)=P(−n0.50.01≤n0.5Xn−0.5≤n0.50.01)≈Φ(n0.50.01)−Φ(−n0.50.01)=2Φ(0.02n)−1.
Dies ist genau dann größer als 0.99 , wenn Φ(0.02n)>0.995 gilt. Dies ist wegen u0.995≈2.576 und der Monotonie von Φ wiederum (approximativ) äquivalent zu0.02n>2.576, also zu n>16589.44. Die Münze muss also mindestens 16590-mal geworfen werden. Man beachte, dass diese Zahl so groß ist, dass eine Normalapproximation gerechtfertigt ist.
Aufgabe:
Kann mir jemand bei Aufgabe G25 den Lösungsweg erklären?
Problem/Ansatz:
Ich verstehe schon warum P(0.49<= Xn <= 0.51) gerechnet wird. Aber wie kommt man auf die
n > 16589.44 ?
Und wie kommt man oben bei der Gleichung am Ende darauf, noch minus 1 zu rechnen?