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Aufgabe G25
Wie oft muss eine faire Münze mindestens geworfen werden, damit die relative Häufigkeit des Auftretens von „Zahl “ mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 0.99 zwischen 0.49 und 0.51 liegt? Benutzen Sie eine Approximation.
Vorlesungsabschnitte: bis II.5.4
Lösungshinweise: Wir definieren
Xk : ={1, beim k-te Wurf wird Zahl geworfen, 0, beim k-te Wurf wird Kopf geworfen, kN X_{k}:=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { beim } k \text {-te Wurf wird Zahl geworfen, } \\ 0, & \text { beim } k \text {-te Wurf wird Kopf geworfen, } \end{array} \quad k \in \mathbb{N}\right. \text {. }

Bei insgesamt nN n \in \mathbb{N} Würfen ist die relative Häufigkeit des Auftretens von nZahl { }_{n} Z_{a h l} " gerade gegeben durch Xn : =1nk=1nXk \overline{X_{n}}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} X_{k} . Es ist μ : =E[X1]=0.5 \mu:=E\left[X_{1}\right]=0.5 und σ2 : =V[X1]=0.52 \sigma^{2}:=V\left[X_{1}\right]=0.5^{2} (vgl. Abschnitt II.3.2). Entsprechend ist
nXn0.50.5 \sqrt{n} \frac{\overline{X_{n}}-0.5}{0.5}
für hinreichend großes n n approximativ standardnormalverteilt. Wir erhalten
P(0.49Xn0.51)=P(n0.010.5nXn0.50.5n0.010.5)Φ(n0.010.5)Φ(n0.010.5)=2Φ(0.02n)1. P\left(0.49 \leq \overline{X_{n}} \leq 0.51\right)=P\left(-\sqrt{n} \frac{0.01}{0.5} \leq \sqrt{n} \frac{\overline{X_{n}}-0.5}{0.5} \leq \sqrt{n} \frac{0.01}{0.5}\right) \approx \Phi\left(\sqrt{n} \frac{0.01}{0.5}\right)-\Phi\left(-\sqrt{n} \frac{0.01}{0.5}\right)=2 \Phi(0.02 \sqrt{n})-1 .

Dies ist genau dann größer als 0.99 , wenn Φ(0.02n)>0.995 \Phi(0.02 \sqrt{n})>0.995 gilt. Dies ist wegen u0.9952.576 u_{0.995} \approx 2.576 und der Monotonie von Φ \Phi wiederum (approximativ) äquivalent zu0.02n>2.576 \mathrm{zu} 0.02 \sqrt{n}>2.576 , also zu n>16589.44 n>16589.44 . Die Münze muss also mindestens 16590-mal geworfen werden. Man beachte, dass diese Zahl so groß ist, dass eine Normalapproximation gerechtfertigt ist.

Aufgabe:

Kann mir jemand bei Aufgabe G25 den Lösungsweg erklären?


Problem/Ansatz:

Ich verstehe schon warum P(0.49<= Xn <= 0.51) gerechnet wird. Aber wie kommt man auf die

n > 16589.44 ?

Und wie kommt man oben bei der Gleichung am Ende darauf, noch minus 1 zu rechnen?

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Aber wie kommt man auf die n>16589.44n > 16589.44?

Multipliziere 0.02n>2.5760.02 \sqrt{n}>2.576 mit 5050 und quadriere.

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