Zeigen Sie, dass es für jeden Untervektorraum U \subseteq ℝn ein homogenes lineares Gleichungssystem gibt, dessen …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es für jeden Untervektorraum $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ein homogenes lineares Gleichungssystem gibt, dessen Lösungsmenge genau $U$ ist. Wie viele Zeilen muss ein solches Gleichungssystem mindestens haben? (Hinweis: Wählen Sie ein Komplement $U^{\prime} z u U$ in $\mathbb{R}^{n}$ und betrachten Sie die lineare Abbildung $\left.U \oplus U^{\prime} \rightarrow U^{\prime},\left(u, u^{\prime}\right) \mapsto u^{\prime}.\right)$

Problem/Ansatz:

Ich habe ehrlich gesagt keinen Ansatz bei dieser Aufgabe, auch der Hinweis mit dem Komplement hilft mir hier nicht weiter.

Answer 1

Die Lösungsmenge eines hom. LGS ist der kern einer linearen Abbildung - mach Dir das erstes klar.

Im Hinweis ist eine lin. Abb. gegeben. Bestimme mal dessen kern.

Comments

Den Kern habe ich bestimmt mit ker(f)= {(u,0) : u ∈ U}

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Der kern ist ein UR des Defbereichs, also?

Hast Du dir die erste Aussage klar gemacht? Ggf. einfaches Beispiel hinschreiben.

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Also ist die Lösungsmenge des hom. LGS ebenfalls ein UR des Definitionsbereiches?!

ich verstehe ehrlich gesagt nicht ganz genau worauf du hinaus möchtest

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Also ist die Lösungsmenge des hom. LGS ebenfalls ein UR des Definitionsbereiches?!

Was für ein Defbereich? Dazu braucht man eine lin. Abb. - wo ist die? Darum geht es.

Nochmal: nimm ein einfaches konkretes(!) hom. LGS und finde dazu eine lin. Abb., deren kern die Lösungsmenge dieses LGS ist.

Dein kern ist richtig gemeint, aber falsch. Verwechsle nicht direkte Summe und Kreuzprodukt.

Also, welches konkrete Beispiel wählst Du?