Ist U = { f ∈ Pn(ℝ) : f(0) = f(1) } ein Untervektorraum von V= Pn(ℝ)?

Question

Aufgabe:

Im folgenden werden jeweils ein Vektorraum V und eine Teilmenge U ⊂ V vorgegeben. In

welchen Fällen ist U ein Untervektorraum von V ? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die 3 Bedingungen (UV1-UV3) zeigen bzw. beweisen, dass eine nicht erfüllt ist.

a) Sei n ∈ ℕ eine natürliche Zahl und V = P_n(ℝ), U = { f ∈ P_n(ℝ) : f(0) = f(1) }

(R = reelle Zahlen)

Problem/Ansatz:

Ich meine, dass man hier so etwas wie einen Zahlenstrahl hat (da R¹). Wie kann ich alle drei Regeln für Untervektorraum indem Fall prüfen? Ich weiß nicht, wie ich zb. f(0) + g(1) rechnen könnte für Regel 2 (für f,g ∈ Pn(ℝ)) oder auch c • f(0) (für c ∈ ℝ).

V = P_n(ℝ) kann ich mir auch nicht so ganz vorstellen, was das ist.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

P_n(ℝ) das sind vermutlich die reellen Polynome mit Grad kleiner gleich n.

Und eure Bedingungen (UV1-UV3) besagen vermutlich

0-Vektor enthalten  ,  Abgeschlossenheit bzgl + und S-Multiplikation .

0-Vektor ist das 0-Polynom und das hat sowohl bei x=1 als auch bei x=0

den Wert 0, also in V enthalten.

Sind f und g zwei Polynome aus V , dann gilt f(0)=f(1)  und g(0)=g(1)

und für die Summe gilt (f+g)(0) = f(0)+g(0) = f(1) + g(1) = (f+g) (1)

also ist die Summe auch in V  etc.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Was ich noch nicht ganz verstanden habe ist folgende Aussage:

0-Vektor ist das 0-Polynom und das hat sowohl bei x=1 als auch bei x=0

den Wert 0, also in V enthalten.

Wie kommen Sie darauf?

Und wie kommen Sie auch darauf, dass x=1 und x=0 ist? Weil eigentlich kommt x nicht in der Menge vor? f(x) wurde nicht in der Menge definiert.

Und noch etwas: woher weiß ich, dass P_n(ℝ) reelle Polynome mit Grad kleiner gleich n sind? Ich dachte, dass wir hier ℝ¹ haben.