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Aufgabe:

Im folgenden werden jeweils ein Vektorraum V und eine Teilmenge U ⊂ V vorgegeben. In

welchen Fällen ist U ein Untervektorraum von V ? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die 3 Bedingungen (UV1-UV3) zeigen bzw. beweisen, dass eine nicht erfüllt ist.

a) Sei n ∈ ℕ eine natürliche Zahl und V = Pn(ℝ), U = { f ∈ Pn(ℝ) : f(0) = f(1) }

(R = reelle Zahlen)


Problem/Ansatz:

Ich meine, dass man hier so etwas wie einen Zahlenstrahl hat (da R1). Wie kann ich alle drei Regeln für Untervektorraum indem Fall prüfen? Ich weiß nicht, wie ich zb. f(0) + g(1) rechnen könnte für Regel 2 (für f,g ∈ Pn(ℝ)) oder auch c • f(0) (für c ∈ ℝ).

V = Pn(ℝ) kann ich mir auch nicht so ganz vorstellen, was das ist.


Vielen Dank im Voraus!

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1 Antwort

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Pn(ℝ) das sind vermutlich die reellen Polynome mit Grad kleiner gleich n.

Und eure Bedingungen (UV1-UV3) besagen vermutlich

0-Vektor enthalten  ,  Abgeschlossenheit bzgl + und S-Multiplikation .

0-Vektor ist das 0-Polynom und das hat sowohl bei x=1 als auch bei x=0

den Wert 0, also in V enthalten.

Sind f und g zwei Polynome aus V , dann gilt f(0)=f(1)  und g(0)=g(1)

und für die Summe gilt (f+g)(0) = f(0)+g(0) = f(1) + g(1) = (f+g) (1)

also ist die Summe auch in V  etc.

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Vielen Dank für die Antwort!

Was ich noch nicht ganz verstanden habe ist folgende Aussage:

0-Vektor ist das 0-Polynom und das hat sowohl bei x=1 als auch bei x=0

den Wert 0, also in V enthalten.

Wie kommen Sie darauf?

Und wie kommen Sie auch darauf, dass x=1 und x=0 ist? Weil eigentlich kommt x nicht in der Menge vor? f(x) wurde nicht in der Menge definiert.


Und noch etwas: woher weiß ich, dass Pn(ℝ) reelle Polynome mit Grad kleiner gleich n sind? Ich dachte, dass wir hier ℝ1 haben.

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