Würfelexperiment mit Tschebycheff abschätzen

Question

Aufgabe:

Ein fairer Würfel wird 6000 mal geworfen. Es bezeichne A das Ereignis

A = {es werden mindestens 951 und maximal 1049 Vieren gewürfelt}.

a) geben Sie einen einfachen Term für die exakte Wahrscheinlichkeit P(A) an.

Das hätte ich so gemacht: \( \sum\limits_{k=951}^{1049}{\begin{pmatrix} 6000\\k \end{pmatrix}}\frac{1}{6}^k * \frac{5}{6}^[6000-k] \)

b) Schätzen Sie P(A) mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung an.

Mein Ansatz: P(|X-1000|≥49)≤\( \frac{Var(X)}{49^2} \)

⇒ P(951≤X≤1049) ≥ 1-\( \frac{Var(X)}{49^2} \)

Ich weiß aber leider nicht wie man hier die Varianz von X bestimmt.

Comments

KI meint dazu:

Ihr Ansatz ist gut! Lassen Sie uns die Lösung vervollständigen und die Varianz für Teil b) berechnen.
a) Ihr Term für die exakte Wahrscheinlichkeit P(A) ist korrekt:
P(A) = ∑k=9511049(6000k)16k∗56[6000−k]
b) Für die Tschebyscheff-Ungleichung benötigen wir die Varianz von X. X folgt einer Binomialverteilung mit n=6000 und p=1/6. Für eine Binomialverteilung gilt:
E(X) = np = 6000 * (1/6) = 1000
Var(X) = np(1-p) = 6000 * (1/6) * (5/6) = 833.33
Nun können wir die Tschebyscheff-Ungleichung anwenden:
P(|X - 1000| ≥ 49) ≤ Var(X) / 49²
P(|X - 1000| ≥ 49) ≤ 833.33 / 2401 ≈ 0.3471
Da wir die Wahrscheinlichkeit für das Komplementärereignis suchen:
P(951 ≤ X ≤ 1049) = P(|X - 1000| < 49) ≥ 1 - 833.33 / 2401 ≈ 0.6529
Also können wir mit der Tschebyscheff-Ungleichung abschätzen, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A mindestens etwa 0.6529 oder 65.29% beträgt.
Es ist wichtig zu beachten, dass dies eine untere Schranke ist. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit könnte höher sein. Die Tschebyscheff-Ungleichung liefert oft konservative (d.h. vorsichtige) Schätzungen.
Für eine genauere Approximation könnte man die Normalverteilung als Annäherung an die Binomialverteilung verwenden (da n groß und np > 5), was in diesem Fall eine bessere Schätzung liefern würde.

Answer 1

Teil a) stimmt. Bitte Brüche beim Potenzieren klammern.

Die Variable \(X\) ist doch binomialverteilt mit \(n=6000\) und \(p=\frac{1}{6}\) und hat daher die Varianz \(\operatorname{Var}(X)=np(1-p)\).

Comments

@ggT: Warum war das jetzt Spam. War die Markierung ein Versehen? Dann entferne ich die mal.