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Die Einwohnerzahl von Afrika nahm von 1980 bis 1985 jährlich um 3%zu.

In der Mitte des Jahres betrug sie 555 Millionen Einwohner.
a) Welches ist die Verdoppelungszeit bei unveränderter Wachstumsrate?(mit Logarithmus)
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Abend johana,


allgemein gilt für sowas die Funktion f(t) = a*b^t

Wir kennen bereits b mit 1,03, denn das ist der gegebene Wachstumsfaktor mit 3 % Zunahme, also 100% + 3%.


Für das Startjahr gilt f(t) = a*1,03^0 = 555

a = 555


--> y = 555*1,03^t


Verdopplung:

2*555 = 555*1,03^t    |:555

2 = 1,03^t                  |ln

ln(2) = t*ln(1,03)

t = ln(2)/ln(1,03) ≈ 23,45


Nach knapp 23,5 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt.


Grüße
Beantwortet von 133 k
Sehr verständlich erklärt :D Vielen Dank!
Freut mich und gerne ;)
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Die Einwohnerzahl von Afrika nahm von 1980 bis 1985 jährlich um 3%zu.

In der Mitte des Jahres betrug sie 555 Millionen Einwohner.  

a) Welches ist die Verdoppelungszeit bei unveränderter Wachstumsrate?(mit Logarithmus)

1.03^x = 2         |Definition des Logarithmus

x = log 2 / log 1.03 = 23.449 =  Jahre

Beantwortet von 142 k
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Bei deiner Frage hier:

https://www.mathelounge.de/108311/bei-welchem-zinssatz-verdoppelt-sich-ein-kapital-in-jahren?show=108327#a108327

hatte ich dir die Zinseszinsformel ans Herz gelegt :-)

Diese Formel, bzw. die daraus abgeleitete Formel für den Prozentsatz p, bei dem sich ein Kapital (oder auch die Einwohnerzahl von Afrika) innerhalb von t Perioden auf das k-fache vervielfacht, ist auch bei der vorliegenden Aufgabe nützlich.

p = t√ ( k ) - 1

Gefragt ist nach der Anzahl t von Perioden (hier: Jahren) nach der sich bei einem Zinssatz (Wachstumsfaktor) von 3 % das Anfangskapital (die anfängliche Bevölkerungszahl) auf das 2 - fache vervielfacht hat.
Da nach t gefragt ist, löst man die violett gesetzte Formel nach t auf:

<=> 1 + p = t√ ( k )

<=> ( 1 + p ) t = k

<=>  t * log ( 1 + p ) = log ( k )

<=> t = log ( k ) / log ( 1 + p )
 

Der Aufgabenstellung entnimmt man::

p = 3 % = 0,03
k = 2

Einsetzen ergibt:

t = log ( 2 ) / log ( 1,03 ) ≈ 23,45 Jahre

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