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Sei A ⊂ ℝn. Beweisen Sie:

(a) Falls A abgeschlossen, dann ℝn\ A offen.

(b) Falls A offen, dann ℝn\ A abgeschlossen.

(c) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

(d) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

(e) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

(f) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

von

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Du weißt schon, dass wir das in Ana 1 fast alles bewiesen haben....
von
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  Ich bin absoluter Fan der ===> ( NSA ; IST ) von ===> Edward Nelson. Ein ausgezeichnetes Lehrbuch wäre da Alain Robert bei Wiley.

   Bei mir gelten folgende Konventionen. So lange wir NSA betreiben, bitte Großbuchstaben nur für Standardobjekte reservieren ( Also auch Mengen klein schreiben. )

   Inf(initesimale) Größen werden mit griechischen Buchstaben belegt.

   gleich für dich das Wichtigste ( Für Axiomatik hab ich heute keine Zeit, antworte jedoch gerne auf deine Kommentare. )

   Definition 1 ( Begrenztheit )

   Ein Vektor x des R ^ N heißt begrenzt, falls


    (E) M > 0 : | x | < M   ( 1a )


    Und hier nun kannst du gleich dein erstes Missverständnis ausräumen. Dass ein Element des |R ^ N beschränkt ist ( " bounded " ) ist ja trivial. Dass es begrenzt ist ( " limited "  ) ist es nicht. Die Definition der Beschränktheit würde lauten


    (E) m > 0 : | x | < m   ( 1b )


   Meine Erfahrung: Nelsons Analysis ist eindeutig " case sensitive " ; die klassische " Schwarzweiß-Analysis " ist es nicht.

   Wozu brauchen wir begrenzte Elemente? Nelson fand einen Lehrsatz, den ich als " Schattensatz " bezeichnen möchte.


    Satz 1 ( Schattensatz )


     Sei x begrenzt. Dann existiert eine eindeutige Zerlegung


     x = x* + €   ( 2a )

     x* =: X = Standard  = Schatten ( x )   ( 2b )

   Von seinem Schatten unterscheidet sich dieses x also aller höchstens um einen inf Betrag.

   Kennst du das ===> Supremumsaxiom? Solltest du; es stellt sicher, dass jede monoton wachsende beschränkte Folge konvergiert. Und genau mit dem Supremumsaxiom beweist Nelson seinen Schattensatz.

   Satz 2

      O ist offen genau dann wenn für begrenzte x


     x* € O ===> x € O    ( 3a )


   Oder etwas anschaulicher gefasst:


   Satz und Aussage 3a


    O ist offen genau dann, wenn für X € O sämtliche inf Kugelumgebungen u ( X ; € ) ganz innerhalb O liegen.

   Zum Vergleich; Aussage 3b kann zwar richtig sein, ist jedoch i.A. falsch :


    Aussage 3b


    Sei o offen und x € o . Dann liegen alle Kugelumgebungen u ( x ; r ) ganz innerhalb o .

   achte auf den Unterschied in der Groß-Kleinschreibung; versuche vor allem, es anschaulich aufzuzeichnen. Dann bist du übern Berg.

   für abgeschlossene Mengen folgt die zu Satz 2 duale Aussage:


   Satz 4


    A ist abgeschlossen genau dann wenn


      x € A ===> x* € A     ( 3b )


    Hier heißt die anschauliche Deutung: Jede Menge M " wirft " ihren Schatten auf ihren Rand.

   Und jetzt zu deinen Aufgaben.


   Beweis von a) Ich setze für das Komplement K := |R ^ N \ A


    Sei x* € K ; nach ( 3a ) Satz ( 2 ) zu zeigen: x selbst liegt auch in K .

  Widerspruchsbeweis; gesetzt x liegt nicht in K . Rein logisch muss x in A liegen; A war aber abgeschlossen ===> x* € A im Widerspruch zur Annahme.

   b) sollte jetzt weiter kein Akt mehr sein; es ist das zu a) duale Argument.

  Das ist die Stärke der Teorie; um z.B. zu widerlegen, dass eine Menge abgeschlossen ist, prüfst du eine algebraische Beziehung für EINEN Punkt nach.

   zu c)  Ganz am Anfang der Theorie lernst du


    Satz 5

   " Jede unendliche Menge enthält ein Nonstandard Element. "

   Jetzt weißt du also, woher der ganze Ärger mit der Unendlichkeit herrührt. Stellen wir uns die Eigenschaft " Standard " ruhig vor als DIN Nomteile.

  Ein weiterer wichtiger Lehrsatz


    Satz 6

   " Eine Menge m enthält ausschließlich Standard-Elemente genau dann,  wenn sie Standard endlich ist. "

  

    Das Gnaden lose hinter der NSA ist gerade, dass du über den Sinn deiner Worte nachdenken musst. Wir betrachten hier eine Familie F , d.h. F soll eine Menge sein. Und die Elemente von F seien offene Umgebungen


     O1 ; O2 ; ... , O ( I ) ; ... , O ( N )   ( 4 )


   Wieso darf diese Familie jetzt Standard sein? Also " F " und nicht " f " ? Auf das ===>Transferaxiom, Nelsons wichtigstes Prinzip, kann ich hier nur am Rande eingehen. die Botschaft lautet: Untersuche den Standardfall und ignoriere bzw. glaube den Rest.

   Das Folgende vermagst du erst richtig einzuordnen, wenn ich dich mit einem der häufigsten Anti-Nelson-Einwände vertrautmache. Betrachte mal ein ( inf ) €-Intervall


      u ( € ) : - € < x < € ; € > 0   ( 5a )

    µ := 2 €   ( 5b )


   Wohl liegt µ* = 0 in u , µ selbst aber nicht - in scheinbarem Widerspruch zu ( 3a ) Des Rätsels Lösung: u ist gar nicht Standard; Satz 2 findet keine Anwendung. ( Es heißt ausdrücklich " eine Menge ' GROSS O ' "

   Hier gilt ein ziemlich einprägsamer Satz


    Y = F ( X ) ist Standard ( 6 )


   So wäre eine Funktion denkbar, die jeder Kugel ihren Radius zuordnet; und Standardkugeln haben Standard Radiusse. Aus ( 5a ) folgt eindeutig, dass eine inf Kugel niemals Standard sein kann.

   Warum ich das sage? Wenn x* in der Schnittmenge der Umgebungen ( 4 ) liegt, liegt es in jedem einzelnen O ( I ) - wir hatten aber gesagt, das sind alles Standardmengen auf Grund von Satz 6 . Auf jedes O ( I ) darfst du die Aussage von Satz 2 anwenden, und damit liegt auch x in der Schnittmenge. Analog beweisest du d)

  Zu e) Kennst du die ===> überabzählbare ===> Kardinalotät ( Mächtigkeit ? Ich selbst bevorzuge als ===> Indexmenge die ===> ordinalzahlen ( OZ ) - im Internet hervor ragend veranschaulicht. OZ sind eine direkte Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen; unsere Familie F abgeschlossener Mengen möge jetzt heißen


      F = { a ( r ) | r < S }      ( 7 )

 Die Ordinalität S von Familie ( 7 ) möge ihre " Länge " heißen. Natürlich ist S , die Länge einer Standardfamilie F , auch wieder Standard - wie könnte es anders sein?

   Aber ich erinnere an Satz 5 . So bald du eine unendliche Familie zulässest, kommen da Nonstandard Mengen a ( r ) drin vor. Jede OZ enthält doch ihre sämtlichen Vorgänger; also könnte ich auf S eine Funktion F einführen, die jedem r sein a ( r ) zuordnet. Und F ( R ) = A ( R ) wäre dann ausnahmsweise Standard.

   Nur für diese Ausnahmemengen gilt aber Theorem 4 ( 3b ) Das hatten wir doch gerade gelernt. Voraussetzung: x liegt in allen a ( r ) - und x* nicht?

   Hier nun passiert was ganz Komisches - musss ich dir doch erklären, was das Transferaxiom besagt. Ge doch mal aus vom IQ-Test. dort wirst du gefragt

  " Setzen Sie die folgende Zahlenfolge fort:

    a < n > = < 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ... >

   Und du sollst sagen

    ( max Zeichen )

von 1,2 k
  Ich mach hier grad noch den Schluss. Vielleicht gelingt es mir ja, dich für mein Spezialgebiet zu begeistern.
  Also diese Zahlenfolge könntest du doch auch ganz anders fort setzen:

    1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 4 711 , 0 , 999 , ... , ( irgendwie )

   Eine mathematisch strenge Rechtfertigung, das zu machen, was jeder als normal ansieht, gibt es überhaupt erst seit Nelson. Gegeben sei eine Folge A < n >


    (V) N | A ( N ) = N ===> (V) n | A ( n ) = n   ( 2.1 )


   Mit der Standardisierung sind bestimmte Ordnungsprinzipien verbunden. Und wir hatten gesagt x* =: X = Standard. Auch hier fordert das Transferaxiom


   (V) R | X € a ( R ) ===> (V) r | X € a ( r ) ( 2.2a )


   Aber warum darf ich dannnicht analog dual schließen - der durchschnitt unendlich vieler OFFENEN Mengen ist offen? Wir haben den Schluss von x* auf x; und x ist eben NICHT Standard. I.A.  ist NICHT erlaubt




   (V) R | x € a ( R ) ===> (V) r | x € a ( r ) ( 2.2b )

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