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Ich habe die Funktion ft(x) = x2 + tx + t                    t∈ℝ

Gesucht ist der Punkt, durch den alle Schaubilder von Kt gehen.

Ich würde für t 2 Werte einsetzten einmal 2 und -0,5

und dann beide Funktionsterme gleichsetzen, den Wert den ich für x rausbekomme in den 1. oder 2. Funktionsterm einsetzten. Würde das gehen oder muss ich ertmal t bestimmen?

von
Eine superausführliche Erklärung die der Mathecaoch da liefert , es ist schön dass es so etwas gibt !!!!!!!!!!!!!!!!!

1 Antwort

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Beste Antwort

ft(x) = x^2 + tx + t
fs(x) = x^2 + sx + s

ft(x) = fs(x)
x^2 + tx + t = x^2 + sx + s
tx + t = sx + s
tx - sx = s - t
x(t - s) = s - t
x = (s - t)/(t - s) = -1

ft(-1) = (-1)^2 + t(-1) + t = 1

Der Punkt lautet P(-1 | 1)

Hier noch eine Skizze:

 

von 300 k

Danke erstmal, in dieser Aufgabe geht des schon aber was ist wenn es lautet:

Zeigen Sie: Alle Parabeln Kt berühren sich in einem Punkt. Bestimmen sie ihn.

ft(x) = tx² + (1-2t)x + t + 1     ; t∈ℝ*

da kann ich des aber nicht wie oben machen, da die Gleichung zu lang ist ich bekommen keinen normalen Wert raus und die Fragestellung ist anders.

Berühren bedeutet ja sie haben ein Punkt gemeinsam und in diesem Punkt ist die Steigung gleich

ft(x) = t·x^2 + (1 - 2·t)·x + t + 1
ft'(x) = 2·t·x - 2·t + 1

Nun setzte ich die Ableitungen gleich

ft'(x) = fs'(x)
2·t·x - 2·t + 1 = 2·s·x - 2·s + 1

Als Lösung bekomme ich: 

x = 1 ∨ s = t

Also ich würde hier jetzt x = 1 als Berührstelle denken. Weiß allerdings noch nicht ob sie den Punkt auch gemeinsam haben. Daher setzte ich es in die Funktionsgleichung ein

ft(1) = t·1^2 + (1 - 2·t)·1 + t + 1 = 2

Damit ist es unabhängig von t und damit ein Berührpunkt.

Hier noch eine Skizze:

Wie kommst du jetzt auf die -1 bei  " x = (s - t)/(t - s) = -1 "

x(t - s) = s - t 

Beide Seiten durch (t - s) teilen

x = (s - t )/(t - s)

im Zähler ein Minus ausklammern

x = -(t - s)/(t - s)

Durch (t - s) kürzen

x = -1

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