Differentialgleichung 1. Ordnung lösen: x²·y` = (1/4)x²+y²

Question

Hier mal eine Aufgabe und meine Rechnung dazu, aber kommt nur Mist raus, wo liegt mein Fehler? Man soll es mit geeigneter Substitution lösen!

Wenn ich jetzt Rücksubstituiere, dann kommt doch nur Blödsinn heraus.

$$ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } * y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \quad / : x ^ { 2 } } \\ { y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } \end{array} \quad \begin{array} { l } { u = \frac { y } { x } = > y = u ^ { * } x = > y ^ { \prime } = u ^ { \prime } x + u } \\ { } \end{array} \\ \begin{array} { l } { u ^ { \prime } * x + u = \frac { 1 } { 4 } + u ^ { 2 } } \\ { u ^ { \prime } * x = \frac { 1 } { 4 } + u ^ { 2 } - u } & { / : x } \\ { u ^ { \prime } = \frac { 1 } { 4 x } - \frac { u } { x } + \frac { u ^ { 2 } } { x } } & { \quad | * d x / + u / - u ^ { 2 } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { u - u ^ { 2 } * d u = \frac { 1 } { 4 x } * d x \quad \int \ldots } \\ { \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } u ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } \ln x + c } \end{array} $$

Answer 1

Dein Fehler liegt in der fünften Zeile, bis dahin ist eigentlich alles richtig. Ich fange mal da an:

u' = 1/4x - u/x + u²/x = 1/x*(1/4 - u + u²)   |:(1/4-u+u²)

du/(1/4-u+u²) = dx/x

Den Bruch muss man jetzt etwas genauer untersuchen, dann stellt man fest, dass es sich um das folgende Integral handelt:

$$ \int \frac { d u } { ( u - 1 / 2 ) ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { u - 1 / 2 } + C $$

Insgesamt erhält man also, wenn man rechts auch integriert:

$$ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { u - 1 / 2 } = \ln ( x ) + C } \\ { u - 1 / 2 = - \frac { 1 } { \ln ( x ) + C } } \\ { u = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { \ln ( x ) + C } } \\ { \Rightarrow y = x u = \frac { x } { 2 } - \frac { x } { \ln ( x ) + C } } \end{array} $$