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Ich habe hier eine Anleitung, wie ich das lösen kann, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%C2%B2*y%27%3D0.25*x%C2%B2%2By%C2%B2
Ich muss hier die Substitution durchführen, wenn ich das richtig verstanden habe. (2 Mal)
Meine Formel bringt mich leider nicht zum Ziel.

Ich bitte um den Lösungsweg.

LG

von

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Hi, mit der Substitution

$$y(x)=x \ v(x) \quad , \quad \frac{dy(x)}{dx} = v(x) + x \frac{dv(x)}{dx}$$

sollte der Rest einfach zu lösen sein:

$$x^2 \left( x \frac{dv}{dx}+v \right) = 0.25 \ x^2+x^2 \ v^2$$

$$\Leftrightarrow \quad \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 - v + 0.25}{x}$$

$$\Leftrightarrow \quad \frac{dv}{dx} = \frac{(v- 0.5)^2}{x}$$

$$\Rightarrow \quad \int \frac{dv}{(v-0.5)^2} = \int \frac{dx}{x}$$

$$- \ \frac{1}{v-0.5} = ln(x) + c_1 \quad , \ c \in \mathbb{R}$$

Resubstituieren und umformen:

$$- \ \frac{1}{\frac{y}{x}-0.5} = ln(x) + c_1$$

$$ \Leftrightarrow \quad - \ \frac{1}{ln(x)+c_1} = \frac{y}{x}-0.5$$

$$ \Leftrightarrow \quad y = x \ \left(- \ \frac{1}{ln(x)+c_1} +0.5 \right) \ .$$

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