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Hi,

in einer Altklausur-Aufgabe wird das folgende Anfangswertproblem betrachtet:

$$ x'(t) = 4t^3 \cdot x(t)^2 $$

Dazu wird zunächst folgende Frage gestellt:

"Was können Sie aufgrund des Satzes von Picard-Lindelöf über die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen aussagen?"

Ich bin jetzt zu dem Schluss gekommen, dass man mit diesem Satz nichts darüber aussagen kann, weil hier keine Lipschitzstetigkeit vorliegt. Allerdings erwartet eine folgende Teilaufgabe dann, dass man ein maximales t angibt, bis zu dem eine Lösung existiert - was ja eine klare Anwendung des Satzes von Picard-Lindelöf wäre, womit ich bei der ersten Teilaufgabe Unrecht haben muss. Wo liege ich hier falsch bzw. wie wäre es richtig?

Vielen Dank für eure Hilfe und LG!

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Sollten bei einem " Anfangswertproblem" nicht auch Anfsngswerte gegeben sein?

Ja, hat der FS warscheinlich einfach vergessen.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo.

Da liegt ein Missverständnis vor!

Setze erst F : |R^2 —> |R als F(t,x) := 4t^3 x^2. Der Satz von Picard-Lindelöf sagt, das das AWP x‘(t) = F(t,x(t)), x(a) = b mit a,b ∈ |R genau eine eindeutige Lösungsfunktion x : U —> |R, definiert auf einem Intervall U ⊂ |R, hat, falls F bzgl. der zweiten Variablen x lokal Lipschitzstetig ist. Tatsächlich ist F hier bzgl. x lokal Lipschitzstetig.

Um lokale Lipschitzstetigkeit bzgl. der Variablen x zu zeigen, kannst du überprüfen ob die partielle Ableitung von F nach x existiert und stetig ist. Denn nach einem Satz folgt dann die lokale Lipschitzstetigkeit der Funktion nach x.

Die partielle Ableitung von F nach x ist dann also F_x (t,x) = 8x t^3 für alle (t,x) ∈ |R^2 und anscheinend ist diese Funktion F_x auch stetig auf ganz |R^2. Daher folgt dann die lokale Lipschitzstetigkeit von F bzgl. x und somit die Aussage über das AWP.

Übrigens kannst du das AWP auch seperabel lösen und wirst es dann auch feststellen :)

Avatar von 1,4 k

Du behauptest ein wenig zuviel: Die Existenz einer Lösung kann i. allg. nicht auf ganz R garantiert werden.

Stimmt, ist korrigiert! Danke

Danke dir, das war sehr hilfreich!

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