Aufgabe:
Löse die Differentialgleichung mit den gegebenen AWP mithilfe der Laplace Transformation.
\(x''(t) - 6x'(t) + 9x(t) = 42te^{3t}\) mit dem AWP \(x(0) = 1, \quad x'(0) = 1\)
Problem/Ansatz:
Ich komme die ganze durcheinander die Differentialgleichung mithilfe der Laplace Transformation zu berechnen.
Laut dem Internet tool soll da als Ergebnis \(7t^3e^{3t}-2te^{3t} + e^{3t}\) rauskommen.
Aber irgendwie komme ich nie zu diesem Ergebnis. Ich habe Versucht es mit dem Laplace Transformation zu machen und dann in Partialbruchzerlegung umzuwandeln
\(\mathcal{L} \{ x'' - 6x' + 9x \} = \mathcal{L} \{ 42te^{3t} \} \)
\(\Rightarrow \mathcal{L} \{ x'' \} - 6\mathcal{L} \{ x' \} + 9\mathcal{L} \{ x \} = \mathcal{L} \{ 42t e^{3t} \}\)
\(\Rightarrow s^2 X(s) - sx(0) - x'(0) - 6(sX(s) - x(0)) + 9X(s) = \frac{42}{(s - 3)^2}\)
\(\Rightarrow (s^2 X(s) - s - 1) - 6(sX(s) - 1) + 9X(s) = \frac{42}{(s - 3)^2}\)
\(\Rightarrow (s^2 - 6s + 9)X(s) - s + 5 = \frac{42}{(s - 3)^2}\)
\(\Rightarrow (s^2 - 6s + 9)X(s) = \frac{42}{(s - 3)^2} + s - 5\)
\(\Rightarrow X(s) = \frac{\frac{42}{(s - 3)^2} + s - 5}{(s-3)^{2}(s^2 - 6s + 9)}\)
\(= \frac{s ^{3} - 11s ^{2} + 39s - 3}{(s - 3) ^ {6}}\)
Habe ich bis dahin alles richtig gemacht? Weil sobald ich es in die Partialbruchzerlegung umzuwandeln will, berechne ich es irgendwie alles falsch, ich verstehe aber halt nicht, was ich falsch mache. Bei mir kommen die ganze Zeit andere Werte raus für A, B, C etc.
Kann mir jemand da behilflich sein?
