Die spezielle Lösung des AWP bestimmen mit Laplace Transformation?

Question

Aufgabe:

Durch Laplace Transformation die spezielle Lösung des AWP bestimmen.

$y^{\prime \prime \prime}$ - 3$y^{\prime\prime}$ + 2 $y^{\prime}$  = x + $e^{x}$

y(0)=1, $y^{\prime}$(0)= -1/4 , $y^{\prime\prime}$ = -3/2  

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiterhelfen? Bin ratlos

Comments

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Answer 1

Willkommen hier:

Aus dem Differentationssatz folgt:

y=F(s)

y'= -y(0) +s F(s) = -1 +s F(s)

y'' = - s y(0) -y'(0) +s² F(s) = -s +1/4 +s² F(s)

y''' = - s² y(0) -s y'(0) -y''(0) +s³ F(s) = -s² +s/4 +3/2 +s³ F(s)

--->in die DGL einsetzen ,

$\begin{aligned} \Rightarrow-s^{2}+\frac{s}{4}+\frac{3}{2}+s^{3} F(s)-3\left(-s+\frac{1}{4}+s^{2} F(s)\right) & +2(-1+s F(s) \\ & =LT\{x+e^ x\}\end{aligned}$

$\begin{array}{l}-s^{2}+\frac{s}{4}+3/2 +s^{3} F(s)+3 s-\frac{3}{4}- 3 s^2 F(s)-2 +2 s F(s) =\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s-1} \\ F(s)\left[s^{3}-3 s^{2}+2 s\right]-s^{2}+\frac{13s}{4 }-\frac{5}{4}=\frac{1}{s^ 2}+\frac{1}{s-1} \\ F(s)\left[s^{3}-3 s^{2}+2 s\right]=\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s-1}+s^{2}-\frac{13}{4} s +\frac{5}{4}\end{array}$

$F(s)[s(s-1)(s-2)]=\frac{4(s-1)+4 s^{2}+4 s^{4}(s-1)-13 s^{3}(s-1)+5 s^{2}(s-1)}{4 s^{2}(s-1)}$

$F(s)[s(s-1)(s-2)]=\frac{4 s-4+4 s^{2}+4 s^{5}-4 s^{4}-13 s^{4}+13 s^{3}+5 s^{3}-5 s^{2}}{4 s^{2}(s-1)}$
$F(s)[s(s-1)(s-2)]=\frac{4 s^{5}-17 s^{4}+18 s^{3}-s^{2}+4 s-4}{4 s^{2}(s-1)}$
$F(s)[s(s-1)(s-2)]=\frac{(s-2)\left(4 s 4-9 s^{3}-s+2\right)}{4 s^{2}(s-1)}$

$F(s)=\frac{\left.(s-2) (4 s^{4}-9 s^{3}-s+2\right)}{4 s^{2}(s-1) \cdot s(s-1)(s-2)}$

$F(s)=\frac{4 s^{4}-9 s^{3}-s+2}{4s^3(s-1)^{2}}$

Partialbruchzerlegung:

Ansatz:

$\frac{4 s^{4}-9 s^{3}-s+2}{4s^3(s-1)^{2}}$ =$\frac{A}{4(s-1)}$ + $\frac{B}{4(s-1)^2}$+$\frac{C}{4s}$ +$\frac{D}{4s^2}$ +$\frac{E}{4 s^3}$

A=0

B= -4

C=4

D=3

E=2

-->Rücktransformation ->Tabelle

$y(t)=\frac{1}{4}\left(t^{2}+3 t-4 e^{t} t+4\right)$