Man kann das ziemlich schnell mit dem Skalarprodukt nachrechnen.
Ich setze
\(x = \begin{pmatrix} x_1 & \ldots & x_n \end{pmatrix}^T\) etc..
Außerdem setze ich, um Schreibarbeit zu sparen,
\(e= \begin{pmatrix} 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix}^T\).
Im weiteren verwende ich die empirischen Standardabweichungen etc.
So haben wir:
\(s_x^2 = \frac 1{n-1}|x-\bar x e|^2\)
\(s_y^2 = \frac 1{n-1}|y-\bar y e|^2\)
\(s_{xy}=cov(x,y)= \frac 1{n-1}(x-\bar x e)\cdot (y-\bar y e)\)
\(\rho_{xy}=\frac{cov(x,y)}{s_xs_y}\)
Auf der linken Seite der Gleichung steht nun:
\(|y-\bar y e - \frac{cov(x,y)}{s_x^2}(x-\bar x e)|^2 = ... \)
... als Skalarprodukt ausmultiplizieren ...
\(...=|y-\bar y e|^2 + \frac{cov^2(x,y)}{s_x^4}|x-\bar x e|^2 - 2\frac{cov(x,y)}{s_x^2}(x-\bar x e)\cdot (y-\bar y e) = ...\)
... obige Relationen einsetzen ...
\(... =(n-1)s_y^2 + (n-1)\frac{cov^2(x,y)}{s_x^2} - 2(n-1)\frac{cov^2(x,y)}{s_x^2} = ...\)
... zusammenfassen und \((n-1)s_y^2\) ausklammern ...
\(... = (n-1)s_y^2\left(1 - \underbrace{\frac{cov^2(x,y)}{s_x^2s_y^2}}_{= \rho^2(x,y)}\right)\)
