Matrizen mit bestimmter Anzahl Eigenwerten in Z/Z5 bestimmen

Question

Sei \( K=\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z} \) ein Körper mit fünf Elementen. Bestimmen Sie jeweils eine Matrix in \( \operatorname{Mat}_{2}(K) \), die

a) zwei unterschiedliche Eigenwerte \( \lambda, \mu \in K \) hat,

b) nur einen Eigenwert \( \lambda \in K \) hat,

c) keine Eigenwerte in \( K \) hat.

Comments

Für (b) wähle z.B. die Nullmatrix.

Answer 1

$$\text{(a) }A=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$$$$\text{(b) }B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$$$\text{(c) }C=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$$

A und B sind Diagonalmatrizen, deren Eigenwerte stehen auf den jeweiligen Hauptdiagonalen.

Berechne das charakteristische Polynom von C und bestätige durch Einsetzen der fünf Körperelemente, dass es keine Nullstellen hat.