Satz von Stokes: Dreiecksfläche mit drei Punkten

Question

{Satz von Stokes:} Verifizieren Sie durch Nachrechnen den Satz von Stokes

\(\iint_{S} \nabla \times \vec{v} \cdot d\vec{O} = \oint_{\partial S} \vec{v} \cdot d\vec{s}\)

für die Dreiecksfläche \( S \subset \mathbb{R}^3 \) mit den Eckpunkten \( (1,0,0) \), \( (0,1,0) \) und \( (0,0,1) \) zum Vektorfeld

\(\vec{v}(x, y, z) = \begin{pmatrix} z^2 \\ x^2 \\ y^2 \end{pmatrix}\)

mit der Rotation (Wickelung) von \(\vec{v}\).

Problem/Ansatz:

Ich habe ein bisschen Probleme damit den Satz von Stokes zu berechnen anhand von drei Punkten.

Als Rotation habe ich als Ergebniss \(\nabla \times \vec{v} = (2y, 2z, 2x)\) raus.

Aber ich verstehe jetzt nicht wie ich weiter rechnen soll. Weil ich kenne die Aufgaben nur mit anderen Beispiele, also ohne die drei gegebene Punkten.

Kann wer helfen?

Comments

Du benötigst eine Parametrisierung der Dreiecksfläche, die durch die 3 Punkte definiert ist. Dazu: Wie sieht eine Parametrisierung der Ebene durch die 3 Punke aus? Wie muss man die Parameter einschränken, damit nur das Dreieck erfasst wird?

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Wenn Dir das nicht gefällt: Wenn Du das Dreieck skizziert, siehst Du, dass man es auch in kartesischen Koordinaten darstellen kann.

Answer 1

Hallo

zeichne das Dreieck! beschriebe für den rechten Teil die 3 Strecken des Rands als einfach Geradenstücke jeweils von t=0 bis 1.

für den linken Teil beschreibe das Innere des Dreiecks durch Ungleichungen, dazu sieh am einfachste die Ungleichung für einen beliebigen Punkt im Dreieck an

lul