Berechne das Integral mittels Residuensatz

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das reelle Integral

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x(1+x^2)} dx$

Berechne es mittels Residuensatz.

Problem/Ansatz:

Moin

Ich muss bei dieser Aufgabe mit dem Residuensatz das Integral lösen. Aber bei dem hier komm ich nicht weiter. Kann mir mal jemand zeigen, wie man das löst?

Weil ich ich glaube, dass ich nicht alles richtig verstanden habe, bzw. weiß ich nicht mal, was ich nicht verstehe.

Danke im Voraus

Answer 1

Ich nenne das Ausgangsintegral im Folgenden stets $I$. Zerlege erst einmal:$$\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}$$ Dann gilt:$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\,dx-\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{1+x^2}\,dx.$$ Das erste Integral sollte bekannt sein, es ist $=\pi/2$. Für das zweite Integral wenden wir den Residuensatz an. Wir betrachten die Funktion $g(z)=\frac{z\,e^{i\,z}}{1+z^2}$ die Pole bei $z=\pm i$ besitzt. Bedenke, dass $\sin(z)=\operatorname{Im}(e^{iz})$.

Du kannst den Residuensatz dann in dieser Form anwenden. Nach dem Residuensatz ergibt sich das Integral über den geschlossenen Weg $\gamma$ (der wird dort näher beschrieben): $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z\,e^{i\,z}}{1+z^2}\,dz=\int_{\gamma}g(z)\,dz=2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2}=\pi i\,e^{-1},$$ da ja $$\mathrm{Res}(g(z),z=i)=\lim_{z\to i}\frac{z\,e^{i\,z}}{z+i}=\frac{i\,e^{i\,i}}{2i}=\frac{e^{-1}}{2}$$Der Imaginärteil dieses Ausdrucks liefert (um wieder zurück zum $\sin$ zu kommen):$$\mathrm{Im}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{z\,e^{i\,z}}{1+z^2}\,dz\right)=\pi e^{-1}.$$ Da $x\sin(x)$ gerade ist, gilt:
$$\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{1+x^2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(x)}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}e^{-1}.$$

Also insgesamt:$$I=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}e^{-1}=\frac{\pi}{2}(1-e^{-1}).$$

Comments

Ah, jetzt ist es verständlicher für mich. Ich wäre gar nicht darauf gekommen zu sagen das man mit $sin(z) = Im(e^{iz})$ weiter rechnen kann Lul.

Dankeschön!

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Kein Problem!