Division mit Rest reelle Polynome: mit f = q*g+r und k < m existieren

Question

Seien \( f(x):=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} \) und \( g(x):=\sum \limits_{i=0}^{m} b_{j} x^{j} \) reelle Polynome, also a_i, b_j ∈ ℝ für i = 0, ... ,n bzw. j=0,...,m, mit a_n,b_m≠0.

Es soll nun gezeigt werden, dass die unten genannten Polynome q(x) und r(x) existieren mit f = q *g + r und k< m

q(x) := \( \sum \limits_{j=0}^{l} c_{j} x^{j} \) und r(x) := \( \sum \limits_{j=0}^{k} d_{j} x^{j} \)

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Kannst Du mir erklären, wieso dieser dann den gewünschten Grad hat.

Im Detail steige ich da leider noch nich so richtig durch. :-(


Angenommen a ∈ ℝ ist eine Nullstelle von f, dann lässt sich f in der Form q * (x-a) schreiben, wobei q ein geeignetes reelles Polynom ist. Wie kann man diese Behauptung beweisen?

Answer 1

Ist m>n setzt q=0 und r=f.

Sonst setze $$q=\frac{a_n}{b_m} x^{n-m}$$ und $$r:=f-qg$$ hat dann den gewünschten Grad.