Bestimmen Sie alle s ∈ ℝ , so dass \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{3}{4} \pi .

Question

Wie macht man die Probe bei solchen Aufgaben:

Text erkannt:

Aufgabe 8 Es seien $\vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{c}s \\ 1 \\ s-1\end{array}\right), \vec{c}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \vec{d}=\left(\begin{array}{c}1-t \\ -t \\ 2 t+3\end{array}\right)$.
(a) Bestimmen Sie alle $s \in \mathbb{R}$, so dass $\varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{3}{4} \pi$.

Hier wurde die Probe so gemacht, allerdings verstehe ich nicht so ganz wie der darauf gekommen ist

Text erkannt:

(8)
$\underline{\text { Aufg } 8}$ al $\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}s \\ 1 \\ s-1\end{array}\right)=2 s-1$
$\begin{array}{l} |\vec{a}|=\sqrt{2},|\vec{b}|=\sqrt{s^{2}+1^{2}+(s-1)^{2}}=\sqrt{2 s^{2}-2 s+2} \\ \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{s}| \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}|\vec{a}||\vec{b}| \\ \Leftrightarrow \quad 2 s-1=-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2^{2}} \sqrt{2 s^{2}-2 s+2}=-\sqrt{2 s^{2}-2 s+2} \\ \qquad \quad(\Rightarrow 2 s-1 \leqslant 0 \quad!) \\ \Rightarrow(2 s-1)^{2}=2 s^{2}-2 s+2 \\ \Leftrightarrow 4 s^{2}-4 s+1=2 s^{2}-2 s+2 \quad \Leftrightarrow 2 s^{2}-2 s-1=0 \end{array}$
$\Leftrightarrow s^{2}-s-\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow\left(s-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow s=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{3}$

Chedr LOg! $\varphi=\frac{3 \pi}{4} \Rightarrow \cos \varphi<0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}<0$
$\begin{array}{l} s=\frac{1}{2}+\frac{1}{8} \sqrt{3}: \vec{a} \cdot \vec{b}=2 s-1=1+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}>0 \Rightarrow \text { beine Los. } \\ s=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3}: \quad 2 \cdot-1=-\sqrt{3}<0 \Rightarrow L_{0} . \end{array}$

Aloo: vaur fior $s=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3}$ ist $\quad$ s $(\overrightarrow{1}, \vec{b})=\frac{3 \pi}{4}$.

Answer 1

Hier wurde die Probe so gemacht, allerdings verstehe ich nicht so ganz wie der darauf gekommen ist

Könntest du da genau erläutern an welcher Stelle du Probleme hast es zu verstehen?

Du brauchst auch nur das s < 0 testen, wenn du weißt das s negativ ist.

Probe bedeutet das s in die Gleichung einsetzen und prüfen ob die Gleichung erfüllt ist.

Für die Probe kannst du z.B. auch einen Taschenrechner benutzen.

Comments

Ab da wo steht: Check Lsg

Also reicht es, wenn ich sage, dass wenn s negativ ist es keine Lösung gibt und wenn s positiv ist eine Lösung gibt?

---

Du hattest ja etwas weiter oben die Bedingung 2·s - 1 ≤ 0 notiert, was bedeutet, dass s ≤ 1/2 sein muss.

Wenn am Ende als Lösung dann s = 1/2 ± 1/2·√3 dort steht, dann kann ja nur die Lösung mit dem "Minus" eine sein.

s = 1/2 - 1/2·√3

Zur Sicherheit kann man aber immer nochmals die Probe machen. Damit schließt du dann Fehler beim Umformen um. Wie gesagt, gibt man beide Seiten der Gleichung nur in den Taschenrechner ein und lässt sich die Ausdrücke berechnen.

---

Man darf keinen Taschenrechner benutzen :(

---

Wie gesagt hast du die Fallunterscheidung dafür ja schon gemacht. Dann brauchst du die Probe nicht.