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Sei I ein offenes Intervall, f:  I → ℝ differenzierbar. Zeigen Sie: Ist f' beschränkt, so ist f gleichmäßig stetig.

 

Gilt auch die Umkehrung? Das heißt: Sei I ein off enes Intervall und sei f:  I → ℝ differenzierbar und gleichmäßig stetig. Ist dann f' beschränkt? (Beweis oder Gegenbeispiel)
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Also erstmal: wenn eine Funktion Lipschitz-stetig ist, dann ist sie auch gleichmäßig stetig ist.
Das ist leicht zu zeigen:

Sei f Lipschitz-stetig, das heißt, für alle x und y gilt:

|f(x)-f(y)| ≤ L*|x-y|

Eine Funktion heißt nun gleichmäßig stetig, wenn für alle ε>0 ein δ>0 existiert, sodass für alle x und y gilt:

Aus |x-y|<δ folgt |f(x)-f(y)|<ε.

Wegen der Lipschitz-Stetigkeit lässt sich dieses Delta für jedes Epsilon explizit angeben, denn es gilt ja:

|f(x)-f(y)|<L*|x-y| < Lε

wählt man also δ=Lε, dann ist die Forderung erfüllt. Insbesondere ist dieses δ unabhängig von x und y.
Also ist f gleichmäßig stetig, wenn f Lipschitzstetig ist.

Nun ist noch zu zeigen, dass aus "f' beschränkt" direkt "f Lipschitz-stetig" folgt:

 

Weil f differenzierbar ist, ist f insbesondere stetig. Es gilt also nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

Für alle x und y (o.B.d.A x>y) existiert ein x0∈(x,y) sodass:

(f(x)-f(y))/(x-y) = f'(x0)

Wenn f'(x) beschränkt ist, dann hat es ein Supremum M :=sup f'(x0):

(f(x)-f(y))/(x-y) ≤ M

f(x)-f(y) ≤ M*(x-y)

Nimmt man nun noch den Betrag:

Außerdem gilt auch f(x)-f(y) ≥ m*(x-y) wenn man m := inf f'(x0) definiert.

Insgesamt gilt also: |f(x)-f(y)| ≤ L*|x-y| wobei L = max{|M|, |m|}

Damit ist f Lipschitz-stetig und wie oben gezeigt also auch gleichmäßig stetig.

 

Zu 2.) Gegenbeispiel ist f:R+→R+: f(x)=√x: die Funktion ist gleichmäßig stetig aber

f'(x) = 1/2√x, geht also für x gegen 0 gegen unendlich und ist unbeschränkt.

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