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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir untersuchen die Folge:$$a_{n+1}\coloneqq\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}\quad;\quad a_1\coloneqq1$$
Zunächst gucken wir genauer hin und berechnen die ersten Folgenglieder:$$a_1=1\quad;\quad a_2=1,5\quad;\quad a_3\approx1,41667\quad;\quad a_4\approx1,41422\quad;\quad a_5=1,41421$$Ab \(n=2\) scheint die Folge (streng) monoton zu fallen und zu konvergieren.
Untere Grenze
Es ist klar, dass alle Folgenglieder positiv sind, dass also \(a_n>0\) gilt.
[Das kannst du notfalls durch vollständige Induktion auch schnell zeigen.]
Für zwei postive reelle Zahlen \(x,y>0\) gilt nach der 2-ten binomischen Formel:$$0\le(\sqrt x-\sqrt y)^2=x-2\sqrt{xy}+y\quad\implies\quad\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$$
Damit können wir die Folgenglieder nach unten abschätzen:$$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}\ge\sqrt{a_n\cdot\frac{2}{a_n}}=\sqrt2$$
Wenn wir \(a_1\) weglassen, ist also \(\sqrt2\) eine untere Schranke:$$a_1=1\quad;\quad a_n\ge\sqrt2\quad\text{für }n\ge2$$Mit \(a_1\) müssen wir die untere Schranke auf \(1\) festlegen.
Monotonie
Um die Monotonie zu betrachten, lassen wir \(a_1=1\) weg, weil wir Monotonie ja erst ab \(a_2\) vermuten. Ohne \(a_1\) wissen wir bereits, dass \(a_n\ge\sqrt2\) gilt. Damit folgern wir:$$a_{n+1}-a_n=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}-a_n=\frac{1}{a_n}-\frac{a_n}{2}=\frac{2-a_n^2}{2a_n}=\frac{\overbrace{(\sqrt2+a_n)}^{>0}\,\overbrace{(\sqrt2-a_n)}^{\le0}}{\underbrace{2a_n}_{>0}}\le0$$Es gilt also \(a_{n+1}\le a_n\) für \(n\ge2\), sodass die Folge ab \(n=2\) monoton fällt.
Obere Grenze
Da die Folge ab \(n=2\) monoton fällt, ist \(a_2=\frac32\) eine obere Grenze.
