Wie hoch ist der Turm? (Vermessungsaufgabe) Vom 70 Meter näher beim Turm liegenden Punkt sieht man die Turmspitze

Question

von einem punkt A eines ebenen horizontalen geländest sieht man die spitze eines turmes unter dem höhenwinkel von 24,6°. vom 70 meter näher beim turm liegenden punkt B sieht man die turmspitze unter dem höhenwinkel von 29,1°. wie hoch ist der turm?

Answer 1

Sei h die Höhe des Turmes und x die Entfernung vom Turm zum Punkt A.

Dann gilt:

h / x = tan ( 24,6 ° )

und

h / ( x - 70 ) = tan ( 29,1 ° )

 

Aus der ersten Gleichung ergibt sich:

h = x * tan ( 24,6 ° )

 

Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt sich:

x * tan ( 24,6 ° ) / ( x - 70 ) = tan ( 29,1 ° )

<=> x * tan ( 24,6 ° ) = ( x - 70 ) * tan ( 29,1 ° )

<=> x * tan ( 24,6 ° ) = x * tan ( 29,1 ° ) - 70 * tan ( 29,1 ° )

<=> 70 * tan ( 29,1 ° ) = x ( tan ( 29,1 ° ) - tan ( 24,6 ° ) )

<=> x = 70 * tan ( 29,1 ° ) / ( tan ( 29,1 ° ) - tan ( 24,6 ° ) )

 

Setzt man diesen Ausdruck für x in die fett gesetzte Gleichung ein, so erhält man:

h = 70 * tan ( 29,1 ° ) * tan ( 24,6 ° ) / ( tan ( 29,1 ° ) - tan ( 24,6 ° ) )

≈ 180,62 m