Art von Unstetigkeit bei Stellen außerhalb des Definitionsbereichs

Question

Es sei $\quad g: \textrm{ D} \rightarrow \mathbb{R}\quad$ gegeben durch $$g(x)= \dfrac{\left(x+3\right)\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2-9\right)}.$$ Wie bestimme ich da einen möglichst großen Definitionsbereich $\textrm{D} ⊂ \mathbb{R}$ für $g$ und wie untersuche ich die Funktion auf Stetigkeit? Und um welche Art von Unstetigkeit handelt es sich bei den Stellen außerhalb des Definitionsbereichs?

Comments

Wann ist ein Bruch nicht definiert?

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Du kennst vielleicht die Regel, dass man nicht durch 0 teilen darf. Damit darf der Nenner eines Bruches nie Null sein.

Kannst du vielleicht schon sehen, für welche Werte von x der Nenner null wird? Ansonsten kannst du den Nenner gleich Null setzen.

(x - 2)(x² - 9) = 0

Verwende dann den Satz vom Nullprodukt, um diese Gleichung zu lösen.

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Schau dir auch mal die Ergebnisse des Zählers an.

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$$g(x)=\frac{(x+3)(x^2-4)}{(x-2)(x^2-9)} \newline g(x)=\frac{(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)(x+3)} \newline g_2(x)=\frac{x+2}{x-3} \newline g_2(x)=\frac{x-3+5}{x-3} \newline g_2(x)=1+\frac{5}{x-3}$$

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Die obigen Funktionvorschriften haben versch. Definitionsbereiche. Die Verwendung gleicher Bezeichnungen wie die Originalfunktion ist nicht hilfreich und verwirrend.

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Die obigen Funktionvorschriften haben versch. Definitionsbereiche. Die Verwendung gleicher Bezeichnungen wie die Originalfunktion ist nicht hilfreich und verwirrend.

Ich habe für dich den Namen der stetig ergänzten/fortgesetzten Funktion verändert. Wir brauchten das allerdings in der Schule nie machen.

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In der Schule geht es ja auch nicht immer darum was hilfreich ist.

Answer 1

Wie bestimme ich da einen möglichst großen Definitionsbereich $\textrm{D} ⊂ \mathbb{R}$ für $g$

Fange an mit $D=\mathbb{R}$.

Entferne dann Zahlen aus $D$, wenn es dafür einen Grund gibt.

Gründe sind:

• Man kann nicht durch 0 teilen.
• Man kann Wurzeln von negativen Zahlen nicht ziehen.
• Man kann Logarithmen nur von positiven Zahlen ziehen.

Das reicht für die Schule. Jenseits der Schule können noch weitere Einschränkungen hinzukommen, zum Beispiel beim Tangens oder den Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Ist hier aber irrelevant,

und wie untersuche ich die Funktion auf Stetigkeit?

Indem du die Definition von Stetigkeit heranziehst oder damit argumentierst, dass Quotienten von stetigen Funktionen auf ihrem Definitionsbereich stetig sind.

Und um welche Art von Unstetigkeit handelt es sich bei den Stellen außerhalb des Definitionsbereichs?

Um keine. Unstetigkeit kann nur innerhalb des Definitionsbereiches vorliegen.