Grüße alle! Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:
Seien X,Y normierte Räume. (~> bezeichnet schwache Komvergenz und —> starke Komvergenz).
Gilt x_n ~> x in X und ist T : X —> Y ein kompakter Operator, so folgt Tx_n —> Tx.
Meine bisherige Idee:
Weil x_n schwachkonvergiert, ist sie insbesondere beschränkt, o.E. normiert. Und weil T kompakt ist, muss es eine Teilfolge von x_n geben mit Tx_nk —> y in Y. Ausserdem gilt auch Tx_n ~> Tx (leicht zu zeigen), speziell auch Tx_nk ~> Tx. Wegen der Eindeutigkeit des schwachen Grenzwerts folgt y = Tx. Also habe ich gezeigt Tx_nk —> Tx und dass Tx_n schwach gegen Tx konvergiert. Wie folgt daraus jetzt auch Tx_n —> Tx ?
