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Aufgabe:

Untersuchung auf Konvergenz.png

Man untersuche jeweils die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
$$ \textrm{a)}\quad a_{n}=\frac{(-1)^{n} 405}{(3 n+11) \sqrt[5]{n^{5}+7}} $$ $$ \textrm{b)} \quad a_{n}=\frac{11^{n}}{(n-3 \sqrt{n}+2)^{n}} $$ $$ \textrm{c)} \quad a_{n}=\frac{(n!)^{2}}{(3 n)!} $$ $$ \textrm{d)} \quad a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n+\ln (2 n+1)} $$ $$ \textrm{e)} \quad a_{n}=\frac{\left(\sinh \left(\frac{1}{n}\right)\right)^{2 n}}{\left(4 \tan \left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n}} $$ Hinweis: Für alle \( n \geq 1 \) gilt die Ungleichung \( \ln (n+1) \leq n \)

Bei Aufgabe 23b) startet die Reihe erst ab n=5.


Problem/Ansatz:

Ich habe bei a), b), c) und e) absolut konvergent und bei d) nur bedingt konvergent. Ist das richtig so?

Avatar vor von

Ja, das ist korrekt.

1 Antwort

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Da ich gerade ein bisschen mit Python rumspiele:

Man kann mit Sympy auf Konvergenz und absolute Konvergenz testen.


Beispiel d):

sp.Sum((-1)**n/(n+sp.log(2*n+1)), (n, 1, oo)).is_convergent()

True

sp.Sum((-1)**n/(n+sp.log(2*n+1)), (n, 1, oo)).is_absolutely_convergent()

False

Avatar vor von 2,1 k

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