Ist Reihe divergent, konvergent oder absolut konvergent?

Question

Aufgabe:

Untersucht werden soll, ob die Reihe divergent, konvergent oder absolut konvergent?

∑(-1)^k ln ((k+1)/k)

Außerdem:

Geben Sie im Konvergenzfall einen Index N an, sodass die Partialsummen S_n, n ≥ N, um höchstens 10⁻² von der Summe S der Reihe abweichen.

Problem/Ansatz:

Wäre für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Das die Reihe konvergiert kann man mit dem Leibnitz Kriterium nachweisen. Du musst also zeigen das \( \ln \left( \frac{k+1}{k} \right) \) eine Nullfolge ist.

Den zweiten Teil der Aufgabe kann man wiefolgt lösen. Es gilt für jede alternierende konvergente Reihe $$ \left| \sum_{k=n+1}^\infty (-1)^k a_k \right| \le |a_{n+1}| $$ Es ist aber $$ | a_{n+1} | = \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)  $$ Es muss also gelten $$ \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) < 10^{-2} $$ Die Ungleichung musst Du nach \( n \) auflösen, dann hast Du Deinen Index \( N \)

Comments

Hallo,

Nullfolge reicht nicht, für das Kriterium muss es eine fallende Nullfolge sein.

Gruß

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Ja da hast Du recht, ist ja beim Leibnitzkriterium auch so vorausgesetzt.