Was ist Phi beim Kegel

Question

Problem/Ansatz:

kann mir jemand einfach uns relativ ausführlich erklären, was es mit dem Öffnungswinkel Phi beim Rotationskörper des geraden Kreiskegels auf sich hat? Und wie man damit berechnen kann, ob ein Punkt auf dem Mantel liegt oder eben nicht.

Comments

In dieser Quelle wird "Öffnungswinkel" evtl. anders verwendet als in der Aufgabenstellung.

Ist ohnehin für die 2. Frage irrelevant.

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Hier wahrscheinlich mehr bezogen auf die Aufgabe:

https://www.matheretter.de/wiki/kegel-formeln

Answer 1

Nehme zum Beispiel die \(z\)-Achse als Rotationsachse und den Ursprung als Kegelspitze.

Wenn \(\phi\) der Öffnungswinkel an der Spitze des Kegels ist, dann gilt für den Radius \(R\) bei \(z=1\): $$R = \tan\frac{\phi}2$$

Damit ergibt sich die Kegelgleichung (Doppelkegel):$$ x^2+y^2 =  R^2z^2= \tan^2\frac{\phi}2\cdot z^2$$

D.h., jeder Punkt gehört zur Kegelfläche genau dann, wenn seine Koordinaten diese Gleichung erfüllen.

Answer 2

Hallo

der Öffnungswinkel φ ist der Winkel an der Spitze des Dreiecks das rotiert.

man muss aber noch eine zweite Information haben, um zu bestimmen ob ein Punkt auf der Oberfläche liegt, dann kennt man die Kreise in abhängigkeit von der Höhe und kann entscheiden ob ein Punkt darauf liegt. Hilfe bringt auch geogebra 3d zur Probe.

lul