Negation Prädikatenlogik

Question

Aufgabe:

Negation folgender Aussage:

\( \forall x:(x \) ist ein Mensch \( \Longrightarrow(\exists y:(y \) ist ein Mensch \( \wedge y \) liebt \( x))) \)

wird zu:

 ¬(\( \forall x:(x \) ist ein Mensch \( \Longrightarrow(\exists y:(y \) ist ein Mensch \( \wedge y \) liebt \( x))) \))

∀x:(x ist ein Mensch∧(∀y:¬(y ist ein Mensch)∨¬(y liebt x)))

oder besser:

∀x∀y:(x ist ein Mensch∧(¬(y ist ein Mensch)∨¬(y liebt x)))

oder:

∀x∀y:((x ist ein Mensch∧¬(y ist ein Mensch))∨(x ist ein Mensch∧¬(y liebt x)))

geht das so?

Comments

Nein, was passiert mit Quantoren bei der Negation?

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Daran habe ich gedacht, dann aber übersehen, daß nicht das Konditional, sondern der Quantor negiert wird.

Besser so:

∃x:(x ist ein Mensch ∧ (∀y: ¬(y∈M)∨¬(y liebt x)))

?

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Welche Aussage willst Du denn negieren? Die oben oder die mit der y≠x Korrektur?

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So wie es hier geschrieben ist, enthält es zwei Fehler: Klammerung ist nicht korrekt und nicht-menschliche y sind erlaubt.

Answer 1

Nein. Außerdem unvollständig (die Ergänzung aus der vorigen Frage fehlt) und viel zu kompliziert.

Verwende die Version aus der vorigen Antwort:

\(\forall x\in M\exists y\in M:(x\neq y\land \mathrm{liebt}(y,x))\)

und negiere von links nach rechts, sorgfältig (achte auf die Quantoren). Das gibt schnell das richtige Ergebnis.

Comments

¬(∀x ∈ M ∃y ∈ M : (x ≠ y ∧ liebt(x,y)))

wird zu:

∃x ∈ M ∀y ∈ M : (x = y ∨ ¬(liebt(x,y)))

?

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Genau so. So einfach ist das. Aber bleibe bei liebt(y,x), nicht liebt(x,y) (tja, Liebe ist nicht immer gegenseitig, ist keine symmetrische Relation).