Wahre/falsche Aussagen zu Kompaktheit/Metriken

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand bei diesen wahr/falsch Aussagen helfen?

LG

Comments

Was sind denn deine konkreten Fragen dazu?

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1. hätte ich gesagt ist richtig, also kompakt.

2. bin ich mir unsicher, da es nicht abgeschlossen scheint

3. ist richtig, da urbilder von abgeschlossenen mengen abgeschlossen sind

4. hätte ich auch richtig gedacht, da stetige bilder von kompakten mengen kompakt sind

5. bin ich überfordert

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Muß es bei der 5. Frage nicht p: ℝⁿ → ℝ heißen?

Zu Deinen ersten beiden Antworten:

ist bei 1) y beschränkt?

Zu 2) geht in die richtige Richtung, nun noch begründen

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Was sind denn deine konkreten Fragen dazu?

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Ahh, bei 1 ) ist y nicht beschränkt.

2) kann nicht abgeschlossen sein, da x=y fehlt, was ja eine volle gerade ist.

Meine einzige frage ist 5) ich weiß nicht ob die projektion von offenen mengen offen ist/sein muss.

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Ja, sind sie, jedenfalls in diesem Fall bei endlicher Dimension.

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Also wäre es
1) falsch

2) falsch

3) wahr

4) wahr

5) wahr ?

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Sieht für mich ok aus.

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3. ist richtig, da urbilder von abgeschlossenen mengen abgeschlossen sind

Die Begründung ist nicht richtig. Hier geht es um die Richtigkeit einer Äquivalenz (genau dann, wenn), nämlich

\(f\ \mathrm{ stetig} \Leftrightarrow (B\ \mathrm{ abgeschlossen} \Rightarrow f^{-1}(B)\ \mathrm{ abgeschlossen}).\)

Du begründest jetzt, da die rechte Seite der Äquivalenz gilt, gilt die Äquivalenz.