Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen die Funktion umkehrbar ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit:
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-2 x-x^{2}, & x \leq 1 \\ 9-6 x+x^{2}, & x>1 \end{array}\right. \)

Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen die Funktion umkehrbar ist. Geben Sie jeweils die Umkehrfunktion an und fertigen Sie eine Skizze an.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktionen mal dargestellt und die Umkehrfunktionen kann ich im Prinzip auch bestimmen.

Sind die gesuchten Bereiche dann  (-∞,-1), (-1,1), [1,3] und (3,∞) ?

 

Answer 1

Ja, fast richtig. Es geht noch größer: \((-\infty, -1], [-1,1],[1,3],[3,\infty)\).

Comments

Fast richtig, es geht noch größer…

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Ja, \((\sqrt2-1,3]\) und \([\sqrt2-1,3)\) geht auch noch (ersetzen dann \([1,3]\) in obiger Liste).

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Es geht noch mehr…

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Warum auch von [3; oo) ?

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Wieso nicht?

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Weil sie dort nicht bijektiv ist.

z.B. f(2) = f(4)

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\(2\notin [3,\infty)\)

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Stimmt. Ich war in ganz D für x>1, der aber eingeschränkt wurde. Das habe ich nicht bedacht.

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Es geht noch mehr…

Was geht denn noch?

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\([-1,3-\sqrt2)\) und \((-1,3-\sqrt2]\)

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Da wäre ich alle nicht drauf gekommen.

Das korrekte Ergebnis ist also insgesamt: (die Möglichkeit Randpunkte zu tauschen habe ich jetzt weggelassen).

(-∞,-1] ; [-1, 3 - √2) ; (√2 - 1,3] und [3,∞)

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Ja, kann man alles am Bild ablesen. Nach der ersten Ergänzung könnte man aber schon auf die zweite kommen, schau das Bild genau an.