So, ohne jetzt großartig an den Beweis zu gehen mag ich meine Idee teilen.
Ich habe hierbei nicht lange für gebraucht, vor 2-3 Tagen hatte ich etwas über die Dualräume und dem Annulator im Skript gelesen. Diese beiden Begriffe werden benötigt und oder sollten verstanden werden damit man die Aufgabe lösen kann.
So ich würde sagen, dass in dieser Aufgabe 2 Beweise zu führen sind. Einmal, dass $$(U+W)° = U° \cap W° $$ gilt und
$$ (U \cap W)° = U° + W° $$ gilt.
Damit man überhaupt die Struktur der Aufgabe versteht sollte man wissen was der duale Raum überhaupt ist.
Hierbei stellt der duale Raum eine Abbildung dar die auf den Körper des Vektorraumes zeigt.
$$ V^* \rightarrow K $$
Den Körper selbst verstehe ich als die Menge an die man betrachtet wenns um Zahlen geht, zb sind die reelle Zahlen ein Körper. (Ich hoffe, dass ich damit einfach nicht falsch liege xD)
Der Annulator nun ist ein sog. Unterraum des dualen Raumes. Der Annulator bildet immer auf die 0 ab.
Ich gehe hier einfach nach der mir gegebenen Definition.
Sei V ein VR und U ein U VR, dann ist $$ U° ={ f \in V^* |f(u) = 0 \forall u \in U} \in V^* $$
So Latex kennt wohl keine {} Klammern oder mag einfach grad nicht ist für mich aber nicht schlimm grade.
Weiter im Kontext, wenn ich mir nun den ersten Beweis ansehe oder die Gleichung die Bewiesen werden muss. Dann betrachte ich mir erst die linke Seite, auf dieser steht, dass die Summe beider Unterräume U + W im Annulator enthalten sein sollen. Demnach gibt es elemente u aus U und w aus W die im Annulator enthalten sind. Nach der Definiton des Annulators sind die enthaltenen Elemente unter der Abbildung f(u)= 0 und f(w)=0.
Damit folgt für mich, dass die Elemente aus u aus U und w aus W aus der gleichen Menge stammen.
Somit lässt sich sagen, dass es einen Schnitt zwischen den beiden Unterräumen gibt nach dem die Elemente u aus U und w aus W auf die 0 unter der Abbildung f zeigen daraus folgt die Gleichheite bzw die rechte Seite.
Ich hätte nun die rechte Seite ebenfalls so versucht runter zu brechen und damit dann die Gleichheit versucht zu zeigen, weil ich darin nicht gut geübt bin oder auch schwierigkeiten habe dies formal korrekt aufzuschreiben, schreibe ich hier.
Als Beispiel jetzt, sei u aus dem U°, unter der Abbildung und Definition vom Annulator folgt f(u)=0,
sei w aus W° unter der Abbildung und Defintion vom Annulator folgt f(w)=0.
Da beide beliebigen Elemente aus W° und U° auf das gleiche Element aus dem Körper abbilden, bestehen u und w aus dem gleichen Element was am Ende den Schnitt darstellt beider U° und W°.
Für mich wäre gedanklich der Beweis "fertig" Formal ist das allerdings, wie ein Bekannter von mir einst sagte in ganz sorgfältiger Manier, einfach Schrott.
Den anderen Beweis würde ich ebenfalls so gestalten.
Die Wortwahl würde sich nicht sonderlich groß anders gestalten, ich kann nicht sagen obs hier einen clou gibt auf den man kommen soll oder wodurch man einen Fakt herausfindet wie zb., dass die zweite Gleichung wohl doch nicht gilt.
Vielen Dank soweit
P.S.: Ich habe nicht 2-3 Tage gebraucht für diesen Beweis. ... :D
