Aufgabe:
1.1 Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen surjektiv sind und berechnen Sie den Kern. Seien U, V Unterräume eines K-Vektorraumes W.
(a) U → (U + V )/V
(b) Sei jetzt außerdem U ⊂ V , und betrachten Sie W/U → W/V .
Verwenden Sie für diese beiden Abbildungen den Isomorphiesatz (Korollar 1.1.8 der Vorlesung) an und schreiben Sie die entstehenden Formeln auf.
1.2 Sei Y eine Teilmenge einer Menge X. Wie würden Sie den Quotient X/Y (als Menge)
definieren? Dazu: Wie wäre die entsprechende universelle Eigenschaft?
Zusatzaufgabe zum Knobeln: Wie würden Sie das Koprodukt/Summe der beiden Mengen
{1, 2} und {2, 3} definieren?
Problem/Ansatz:
Dies ist ein Präsenzzettel der ersten Woche aus der Vorlesung zur Linearen Algebra 2.
Ich selbst habe mir heute nebenbei und auch damals schon die Definition zu Quotienten angesehen.
Hierbei habe ich folgendes verstanden.
Es wird gewollt, dass man einen neuen K VR konstruiert in dem eine lin. Abb. definiert wird.
pi: V nach Q, V ist ein K VR und Q der Quotientenraum.
U ist ein U VR von V.
pi(u) = 0_Q (?) Es ist eine Null mit einem zweiten Strich wie bei N für die natürlichen Zahlen.
Die Abbildung sei surjektiv.
pi(v) ist ungleich 0_Q für jedes v aus V\U
Die Zeichnung selbst hinter dem Problem ist "simpel"
Im Bosch Buch zur lin. A. fand ich folgende Stelle: Man bezeichnet A als afinen UR von V, wenn A leer ist, oder wenn es ein Element a aus V und einen linearen UR U aus V gibt mit A = a + U:= {a +u; u aus U}.
Mir bleibt leider genau jetzt nicht mehr viel Zeit, ich möchte keine direkte Lösung erhalten!
Ich möchte und werde mich später am Abend wieder damit weiter befassen und hoffentlich etwas mehr zu den Präsenzaufgaben verstehen.
Meine Hoffnung hier: Erklärung von dem wie die Aufgabe angegangen werden soll und wie ich mit den Informationen aus der Definition die Aufgabe lösen kann. Hätte ich jetzt ein paar Minuten mehr, dann hätte ich zur Surjektivität schon was gesagt.
