Habe ich das Leibnizkriterium für diese Reihe richtig angewendet?

Question

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\( \begin{array}{l} \text { c.) } \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \sqrt{\frac{3^{k}}{k^{3}+1}}, \text { Leibniz kriterium } \\ a_{k}=\sqrt{\frac{3^{k}}{k^{3}+1}}, \text { Bed, für monobne Nolge: } \\ a_{k+1}=\sqrt{\frac{3^{k+1}}{(k+1)^{3}+1}} \\ \sqrt{\frac{3^{k+1}}{(k+1)^{2}+1}}<\sqrt{\frac{3^{k}}{k^{3}+1}} \end{array} \)
\( \rightarrow \) die Folge ist sonit monoton
\( -1 \)
\( a_{k}=\sqrt{\frac{3^{k}}{k^{3}+1}} \xrightarrow{k \rightarrow \infty} 0 \text { es int éne } \)
\( \Rightarrow \) Insgesant convergiet diese Reine

Habe ich das Leibnizkriterium für diese Reihe richtig angewendet?

Comments

Das Kriterium paßt zwar, aber Du hast weder gezeigt, daß es eine Nullfolge ist (was übrigens nicht der Fall ist), noch hast Du ‚monoton fallend’ gezeigt (was auch nicht der Fall ist). Also ist das Leibnitz-Kriterium hier nicht anwendbar.

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Aber ak+1 ist doch kleiner als ak und k^3+1 geht doch gegen unendlich gegen 0, oder nicht?

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Und was ist mit dem Zähler? Und wieso ist \(a_{k+1}\) kleiner? Setze Zahlen ein und teste selbst!

Etwas ohne Beweis oder zumindest einer Probe zu behaupten, kann nicht zum Ziel führen.

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k³ + 1 gegt gegen unendlich, richtig, aber 3^k auch und zwar viel schneller. Und a_k+1 ist nicht kleiner als a_k.

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Wenn unten größer als oben ist geht das automatisch gegen 0 und k^3+1 ist größer als 3^k

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Nein, der zweite Teilsatz gilt eben nicht! Setz mal k=4 ein…

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Zahlen einsetzen! Vergleiche \(50^3+1\) und \(3^{50}\).

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Hä warum ist ak+1 nicht kleiner als ak? Der Nenner bei ak+1 ist doch größer als der Nenner bei ak, und wenn der Nenner größer ist, ist doch dann der gesamte Bruch kleiner

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Dafür ist der Zähler bei a_k+1  viel größer als bei a_k

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Also ist es monoton aber keine Nullfolge, weil die Wurzel gegen unendlich läuft?

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Ich sagte doch schon: weder Nullfolge noch monoton fallend.

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Ich verstehe aber nicht, wieso es nicht monoton fallend ist

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Oder ist es aus dem selben Grund? Weil der Zähler schneller wächst?

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Genau. Da bei dem einen sowohl der Zähler als auch der Nenner wächst ist es erst einmal unklar, was hier am Ende passieren wird. Also muß man tiefer reinschauen und der Zähler wächst hier exponentiell, der Nenner nur zur dritten Potenz.

Dann rechne einfach mal a₄, a₅, und a₆, aus…dann siehst du es.

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Jetzt habe ich es total verstanden, vielen lieben Dank,

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Das was vorher da stand, war von Dir richtig geschlussfolgert.

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Okii super, meine komplette Frage ist einfach weg :,(

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Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, dass es Monoton fallend ist, brauchen wir auch nicht die Bedingung der Nullfolge zu überprüfen?

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Das hilft sicherlich. :)

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Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, dass es Monoton fallend ist, brauchen wir auch nicht die Bedingung der Nullfolge zu überprüfen?

Korrekt, und umgekehrt. In der Regel ist nämlich Nullfolge leichter zu widerlegen bzw. zu zeigen als Monotonie.

Auch ist es wichtig zu verstehen, dass das alles nur zeigt, dass man Leibnitz nicht anwenden kann - das bedeutet aber nicht automatisch, dass die Reihe divergent wäre, denn Leibnitz ist hinreichend, nicht notwendig.

Also muß man hier noch weiter überlegen. Was würdest Du nun tun?