bestimmtes Integral berechnen (e-Funktion)

Question

Aufgabe:

bestimmtes Integral berechnen (e-funktion)

die Funktion lautet: \( \int\limits_{2}^{4} \)  e^-0.5*x dx

Problem/Ansatz:

die Regel zum Bestimmen des Werts eines bestimmten Integrals: F(b)-F(a), die Regel zum Bestimmen der Stammfunktion der Form e^b*x lautet: \( \frac{1}{b} \) * e^b*x

Diese Regel habe ich bei diesem Beispiel auch angewendet:

\( \frac{1}{-0,5} \) *e^-0,5*4  - \( \frac{1}{-0,5} \) * e^-0,5*2  =-1,0064

richtig ist 0,47

Comments

Du hast die Regeln richtig angewendet.

Wenn ich das ausrechne, was Du aufgeschrieben hast, dann komme ich auf die Musterlösung:

\(\displaystyle \frac{1}{-0,5} e^{-0,5 \cdot 4}-\frac{1}{-0,5} e^{-0,5 \cdot 2} = 0,4650883 \ldots \)

Auf Deinen Wert komme ich, wenn ich das negative Vorzeichen im Nenner des Subtrahenden ignoriere.

Und da wo Du geschrieben hast "die Funktion lautet" sollte stehen "Das Integral lautet".

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Was ist hier Dein b? Setze es anschließend richtig ein und rechne korrekt (Bruchrechnung!), dann kommt auch das Richtige raus…

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Ich zeige dir mal folgenden Weg:

\( \int\limits_{2}^{4} e^{-0,5x} dx\)

Lösung über eine Substitution:

\( u=-0,5x\).  Auflösung nach x:

\(x=-2u\) Ich stelle nun noch die Integralgrenzen um. Somit entfällt dann die Rücksubstitution

untere Grenze:  \( 2=-2u \).  → \( u=-1 \)

obere  Grenze:  \( 4=-2u \). → \( u=-2 \)

Bevor ich nun das neue Integral aufschreibe , muss noch \(\frac{dx}{du}\) bestimmt werden:

\(\frac{dx}{du}=-2\)      \(dx=-2du\)

\( \int\limits_{-1}^{-2}e^{u}(-2)du=[ -2e^{u}   ]_{-1}^{-2}=[-2e^{-2}  ]-[ -2e^{-1} ]=\frac{2}{e} -\frac{2}{e^2} ≈ 0,465 \)

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Ignoriere den Kommentar von Moliets besser.

Lösung über eine Substitution:

Die Lösungsformel des FS ist das Resultat einer Substitution. Es ist daher nicht unbedingt empfehlenswert, diese vollständig durchzuführen (zumal das auf vielen Lehrplänen nicht draufsteht). Auch ist es fraglich, ob das notwendig ist, wenn der FS sich möglicherweise nur blöd verrechnet hat oder - wie ich hier vermute - etwas falsch in den Taschenrechner eingetippt hat.

Dennoch:

Es reicht, wenn man allgemein weiß, dass

\(\int\!f(bx)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{b}F(bx)+C\)

gilt.

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wenn der FS sich möglicherweise

Der FS ist eine FS. Es gibt da Unterschiede.