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Aufgabe 3: Erwartungswerte I 4 Punkte
Sei (a, b) ein zufälliges Ergebnis beim zweifachen Würfeln. Bestimmen Sie die Erwartungswerte der folgenden zwei Zufallsvariablen:

a) X(a,b) = a² +b²

b) Y(a,b) = ab

Aufgabe 4: Erwartungswerte II 6 Punkte
Bei einer Klausur besteht eine Aufgabe aus 7 Fragen, die entweder mit ja oder mit nein zu beantworten sind. Für jede richtige Antwort erhält man 2 Punkte, für jede falsche 3 Minuspunkte. Man kann Fragen auch unbeantwortet lassen (0 Punkte). Zur Auswertung wird die Punktsumme S bestimmt. Ist S positiv, so wird die Gesamtaufgabe mit S Punkten bewertet, sonst mit 0 Punkten.
Bei Fragen, deren Beantwortung man nicht kennt, hat man die Wahl zwischen Strategie l, die Frage unbeantwortet zu lassen, und Strategie 2, eine Antwort zu raten.

Bestimmen Sie für die folgenden 3 Studenten den Erwartungswert für die Punktzahl bei der Strategie 2 (Rate-Strategie) und vergleichen Sie diese mit der Strategie l. Entwerfen Sie jeweils einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Zufallsvariablen zur Beschreibung der erreichten Punktzahl.

Alice kann die Fragen 1 bis 5 sicher beantworten und ist bei den Fragen 6 und 7 völlig ratlos.

Bob hat nicht gelernt und ist bei allen Fragen völlig ratlos.

Carola kann die Fragen 1 und 2 sicher beantworten und ist bei den Fragen 3 bis 7 völlig ratlos.
 

Gefragt von

@complicatoNacho: Wie vorhin schon erwähnt, kannst du PNG-Grafiken auch zu Text umwandeln lassen mit: http://www.newocr.com/

1 Antwort

+2 Daumen

 

 7 Fragen, die entweder mit ja oder mit nein zu beantworten sind. Für jede richtige Antwort erhält man 2 Punkte, für jede falsche 3 Minuspunkte. Man kann Fragen auch unbeantwortet lassen (0 Punkte). Zur Auswertung wird die Punktsumme S bestimmt. Ist S positiv, so wird die Gesamtaufgabe mit S Punkten bewertet, sonst mit 0 Punkten. 
Bei Fragen, deren Beantwortung man nicht kennt, hat man die Wahl zwischen Strategie l, die Frage unbeantwortet zu lassen, und Strategie 2, eine Antwort zu raten.

Bestimmen Sie für die folgenden 3 Studenten den Erwartungswert für die Punktzahl bei der Strategie 2 (Rate-Strategie) und vergleichen Sie diese mit der Strategie l. Entwerfen Sie jeweils einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Zufallsvariablen zur Beschreibung der erreichten Punktzahl. 

Alice kann die Fragen 1 bis 5 sicher beantworten und ist bei den Fragen 6 und 7 völlig ratlos. 

Strategie 2. E(Punktzahl)= 5*2 Punkte + 1/4 (- 6  -1 -1 + 4) = 10 + 0.25 *(-4) = 9

(- 6 (beide falsch)  -1(erste falsch, zweite richtig) -1(erste richtig, zweite falsch) + 4(beide richtig)) 

Bob hat nicht gelernt und ist bei allen Fragen völlig ratlos. 

Der Erwartungswert ist bei jeder Frage -0.5

Erste Schätzung E(Punktzahl bei 7 Fragen) = 7*(-0.5) = -3.5. Da in diesem Fall auf 0 aufgerundet wird und nicht ganz ausgeschlossen ist, dass er auch mal eine positive Punktzahl rät, ist E(Punktzahl bei 7 Fragen) doch etwas grösser als 0.

Man muss hier genauer rechnen.

Eine positive Punktzahl gibt's bei 7 Richtigen (14), 6 Richtigen (9), 5 Richtigen (4),

Null gibt's bei

4 Richtigen, 3 Richtigen, 2 Richtigen, 1 und 0 Richtigen.

E(Punktzahl) = 14 * 2^{-7} + 9*     7   *2^{-7} + 4 *  (7 tief 2)           *2^{-7} + 0

=14 * 2^{-7} + 63   *2^{-7} + 4 *  21           *2^{-7}

=(14 + 63 + 84)          *2^{-7}  = 1.2578 Punkte



Carola kann die Fragen 1 und 2 sicher beantworten und ist bei den Fragen 3 bis 7 völlig ratlos. 

Erste Schätzung: E(Punktzahl) = 4 + 5*(-0.5) = 0.5  auch hier muss noch berücksichtigt werden, dass in vielen Fällen auf 0 aufgerundet wird.

 

Eine positive Punktzahl gibt's bei 7 Richtigen (14), 6 Richtigen (9), 5 Richtigen (4), 

Null gibt's bei

4 Richtigen, 3 Richtigen, 2 Richtigen, 1 und 0 Richtigen.

Die ersten beiden sind ja immer richtig.

Damit's nicht 0 gibt können von den übrigen fünf: 5 (------>14 Punkte), 4(----->9 Punkte) oder 3 (----> 4 Punkte) richtig sein.

E(Punktzahl) = (14 + 9*5 + 4*(5 tief 2)) *2^{-5}

                 = (14 + 45 + 4*10)/2^5

                 =99/2^5 = 3.09375 Punkte

Vergleich:

Alice hätte mit Strategie I 10 Punkte.

Bob mit Strategie I 0 Punkte

Carola mit Strategie I 4 Punkte

Strategie II lohnt sich eigentlich nur für Bob

 

Beantwortet von 144 k
Vielen Dank......alles ausführlich erklärt!!
Du darfst auch gerne dem Beantworter danken, indem du die Antwort als Beste bewertest.

Du bekommst als Dank die Beste Antwort auszuzeichnen auch noch Punkte gutgeschrieben.
was soll man bei den "(Punktzahlen)" einsetzen ?
Weißt noch jemand wie man 3. Aufgabe lösen kann?

@Anonym: Wenn du keine Abkürzung kennst, kannst du hier immer mit der Definition des Erwartungswerts arbeiten. Das dauert halt einen Moment. Ich schreib die mal, wie man da beginnt.

Unterscheide die Würfel (z.B. blau und grün). Dann hast 36 gleichwahrscheinliche mögliche Ausfälle. Zu jedem berechnest du

 für a) X(a,b) = a² +b²

und für b) Y(a,b) = ab 

                                         X                     Y

blau 1 grün 1                2                     1

blau 1 grün 2                5                     2

blau 1 grün 3              10                   3

blau 2 grün 1              5                    2

blau 2 grün 2             8                    4

blau 2 grün 3             13                 6

blau 6 grün 4          52                 24

blau 6 grün 5          61                30

blau 6 grün 6          72                 36

Wenn du fertig bist addierst du jeweils alle 36 Zahlen und teilst das Ergebnis durch 36.

Fertig!

 

 

Ja danke Lu so habe ich es auch gemacht aber dass ich durch 36 teile, dass wusste ich nicht.

Ist es wieder günstige  möglichkeit durch alle mglichkeit?

 

 

Danke im Voraus
Gemäss Definition der Erwartungswerts, musst du jedes Resultat durch seine Wahrscheinlichkeit teilen. Und die ist, wenn du so rechnest 1/36.

Statt jeden Summanden in der Tabelle mit 1/36 zu multiplizieren, kannst du alles zusammenzählen und am Schluss durch 36 dividieren.

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