Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass Pn−1

Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass \( \sum \limits_{i=0}^{n-1}2i+1=n^{2} \) für jedes n ≥ 1 gilt

Answer 1

Setze auf beiden Seiten der Ind.Vor. n+1 für n:

\( \sum\limits_{i=0}^{n}{2i+1} \)=(n+1)²

und forme beide Seiten um. Linke Seite:

\( \sum\limits_{i=0}^{n}{2i+1} \)=(\( \sum\limits_{i=0}^{n-1}{2i+1} \)) +2n+1.

Rechte Seite: (n+1)²=n²+2n+1

Setze die Ind.Vor. ein. Fertig.

Comments

Dann sollte man in die linke Seite auch \(n+1\) einsetzen und nicht \(n\) ...

Und man sollte auch den Induktionsanfang machen und die Induktionsbehauptung aufstellen...

Elegant ist dieser Weg übrigens nicht. Schöner ist es, wenn der Beweis direkt über eine Gleichungskette anstatt über Äquivalenzumformungen erfolgt, sprich \(\sum\limits_{i=0}^{n+1}2i + 1  =\sum\limits_{i=0}^{n}2i + 1+[2(n+1)+1]=\ldots = (n+1)^2\).

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Dann sollte man in die linke Seite auch \(n+1\) einsetzen und nicht \(n\) ...

Hat er das denn nicht gemacht? Es ist doch \((n+1)-1=n\) oder nicht?
Im Übrigen scheint wohl eher deine Gleichungskette falsch zu sein.

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Pardon. Klar. Die Summe geht ja nur bis \(n-1\) ... Die Macht der Gewohnheit...

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Es beruhigt mich sehr, dass ich nicht der Einzige bin, dem Fehler unterlaufen.