Determinate bestimmen einer Einheitsmatrix der Größe n

Question

Aufgabe:

Ich sitze gerade an Übungsaufgaben für meine kommende Algebra Klausur jedoch hänge ich gerade an einen gewissen Punkt und komme nichtmehr voran.

Ist denn mein Ansatz überhaupt richtig?

Comments

Es gibt zwei prinzipielle Wege die Determinante zu berechnen, so wie du angefangen hast mittels weiteren geschickten Umformungen und Laplace Entwicklungssatz oder über die Eigenwerte.

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Über Eigenwerte?

Hatten wir erst in der letzten Vorlesung eine kurze Einführung.

Welche Spalte / Zeile streiche ich denn am besten? Dadurch das die Matrix so unendlich ist verrechne ich mich immer und bleibe hängen.

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Die Matrix hat a’s in der Hauptdiagionalen und b‘s überall sonst.

Versuche eine Diagonalform zu erreichen, z.B. durch: addiere alle Zeilen zur 1. Zeile. Die hat dann a+(n-1)b an jeder Stelle, das kann man vor die Determinate ziehen. Dann das b-fache der ersten Zeile von allen anderen abziehen. Dann hast Du eine Diagonalform. Jetzt solltest Du alleine weiterkommen.

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Verstehe ich jetzt gerade nicht, soll ich zu meiner letzten Matrix alle Zeilen zur 1 Zeile addieren?

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Nein, ich sprach von der Ausgangsmatrix.

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Zur Kontrolle:

\( \operatorname{det}\left((a-b) \cdot \mathbf{I}_{n}+b \cdot \mathbf{J}_{n}\right)=(a+(n-1) b) \cdot(a-b)^{n-1} \)

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Ahhh ich glaub ich habs, dankeschön :3

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Wieso fängt man auch direkt mit \(n=4 \) an und versucht sich nicht erstmal an \( n=2 \) oder \( n=3 \), deren Determinanten sich direkt berechnen lassen (Sarrus)?

Answer 1

Nur zur Kontrolle

DET(A_n) = (a + (n - 1)·b)·(a - b)^(n - 1)

Recht schnell kommt man darauf, wenn man A2, A3 und A4 von Hand bestimmt und die entstehenden Terme faktorisiert.

Dann bleibt nur noch übrig den gefundenen Term allgemein zu prüfen. Dazu hast du aber bereits einen Tipp bekommen.

Comments

$$\det(A_2) = det\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} = a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b) \newline \det(A_3) = det\begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{pmatrix} = a^3 + b^3 + b^3 - ab^2 - ab^2 - ab^2 = a^3 + 2b^3 - 3ab^2 = (a + 2·b) \cdot (a - b)^2 \newline \det(A_4) = ... = (a + 3·b) \cdot (a - b)^3$$